Kvas-analytisk funktion

Kvasianalytiske funktioner i matematisk analyse er en klasse af funktioner, der løst sagt kan rekonstrueres fuldstændigt ud fra deres værdier i et lille område (for eksempel på grænsen af en region). Denne egenskab letter i høj grad løsningen af differentialligninger og studiet af andre analyseproblemer. Da denne egenskab gælder for analytiske funktioner (se kompleks analyse ), så indeholder klassen af kvasi-analytiske funktioner klassen af almindelige analytiske funktioner og kan betragtes som en forlængelse af den [1] .

Definitioner

Enkelt variabel funktioner

Et af de mange definerende træk ved en analytisk funktion : lad funktionen være uendeligt differentierbar på alle punkter i segmentet , og lad der være et tal (afhængigt af funktionen), således at uligheden gælder for alle punkter: $f(x)$ $[a,b]$ $EN$ $x\i[a,b]$

|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!

(en)

Så er funktionen analytisk ( den omvendte sætning er også sand) [2] . $f(x)$

Jacques Hadamard foreslog i 1912 at generalisere ovenstående ulighed ved at erstatte sekvensen med en sekvens af den generelle form af positive reelle tal . Han definerede på intervallet [ a , b ] klassen af funktioner C M ([ a , b ]) som følger: $n!$ ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty ))$

Enhver funktion fra klassen er uendeligt differentierbar ( f ∈ C ∞ ([ a , b ])), og på alle punkter x ∈ [ a , b ] og for alle er følgende betingelse opfyldt: $f$ $k\geqslant 0$

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}

(2)

hvor A er en konstant (afhængig af funktionen).

Hvis vi tager sekvensen M k =1, så får vi, ifølge det, der blev sagt i begyndelsen af afsnittet, præcis klassen af almindelige reelle analytiske funktioner på intervallet [ a , b ].

Klassen C M ([ a , b ]) kaldes kvasi -analytisk, hvis for en hvilken som helst funktion f ∈ C M ([ a , b ]) unikhedsbetingelsen er opfyldt : hvis på et tidspunkt x ∈ [ a , b ] for alle k , så er f identisk lig med nul. ${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

Elementerne i en kvasi-analytisk klasse kaldes kvasi-analytiske funktioner . Ovenstående betingelse betyder, at to funktioner, der på et tidspunkt falder sammen med alle deres afledte, er sammenfaldende overalt. Med andre ord bestemmer værdierne af en funktion i et vilkårligt lille område fuldstændigt alle dens værdier.

Funktioner af flere variabler

For en funktion og for et sæt af indekser betegner vi: $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n))$

{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n))

D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \ delvis x_{n}^{j_{n}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.

Så kaldes det kvasi -analytisk i et åbent domæne, hvis der for hver kompakt findes en konstant sådan, at: $f$ $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ $K\subset U$ $EN$

\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}

for alle indekser fra sættet og på alle punkter . $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $x\i K$

Klassen af kvasi-analytiske funktioner af variable med hensyn til en sekvens på et sæt kan betegnes med , selvom der er andre notationer i kilderne. $n$ $M$ $U$ $C_{n}^{M}(U)$

Kvasianalytiske klasser for logaritmisk konvekse sekvenser

Antag, at i ovenstående definition , og rækkefølgen er ikke- faldende. Denne sekvens siges at være logaritmisk konveks , hvis betingelsen er opfyldt: $M_{1}=1$ $M_{k}$

Rækkefølgen er stigende.

{M_{k+1} \over M_{k}}

Hvis sekvensen er logaritmisk konveks, så: $M_{k}$

{\displaystyle (M_{k})^{1/k))

stiger også.

M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}

for alle .

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

For logaritmisk konveks er den kvasi-analytiske klasse en ring . Især er den lukket under multiplikation og sammensætning . Det sidste betyder: $M$ $C_{n}^{M}$

Hvis og , så .

{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p))

g\in C_{p}^{M}

g\circ f\in C_{n}^{M}

Denjoy-Carleman teorem

Denjoy-Carleman-sætningen blev formuleret og delvist løst af Arnaud Denjoy ( Denjoy (1921 )) og fuldstændig bevist af Thorsten Carleman ( Carleman (1926 )). Denne sætning giver et kriterium til at bestemme, under hvilke sekvenser M funktionerne C M ([ a , b ]) danner en kvasi-analytisk klasse.

Ifølge teoremet er følgende udsagn ækvivalente:

C M ([ a , b ]) er en kvasi-analytisk klasse.
$\sum 1/L_{j}=\infty ,$ hvor . $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$
$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$ hvor M j * er den største logaritmisk konvekse sekvens afgrænset ovenfor af M j .
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

For at bevise, at udsagn 3, 4 er ækvivalente med 2., bruges Carlemans ulighed .

Eksempel : Denjoy (1921 ) [3] påpegede, at hvis givet en af sekvenserne $M_{n}$

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,

så er den tilsvarende klasse kvasi-analytisk. Den første sekvens (af enheder) giver de sædvanlige analytiske funktioner.

Yderligere egenskaber

For en logaritmisk konveks sekvens gælder følgende egenskaber for den tilsvarende klasse af funktioner. $M$

$C^{M}$ falder sammen med klassen af analytiske funktioner, hvis og kun hvis . $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
Hvis er en anden logaritmisk konveks sekvens for hvilken (her er en konstant), så . $N$ ${\displaystyle M_{j}\leqslant C^{j}N_{j))$ $C$ $C^{M}\subset C^{N}$
$C^{M}$ stabil med hensyn til differentiering hvis og kun hvis . $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
For enhver uendeligt differentierbar funktion kan man finde kvasi-analytiske ringe og og elementer sådan, at . $f$ $C^{M}$ $C^{N}$ $g\in C^{M},h\in C^{N}$ $f=g+h$

Inddeling ifølge Weierstrass

Definition . En funktion siges at være af regelmæssig orden med hensyn til hvis og . $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $d$ $x_{n}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d))$ $h(0)\neq 0$

Lade være en almindelig rækkefølge funktion med hensyn til . Det siges, at en ring af reelle eller komplekse funktioner af variabler opfylder Weierstrass-divisionen med hensyn til, om der for hver også eksisterer sådan, at: $g$ $d$ $x_{n}$ $A_{n}$ $n$ $g$ $f\in A_{n}$ $q\in A$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1))$

f=gq+h

, hvor .

{\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j))

Eksempel : Ringen af analytiske funktioner og ringen af formelle potensrækker opfylder begge Weierstrass divisionsegenskaben. Hvis den imidlertid er logaritmisk konveks og ikke falder sammen med klassen af analytiske funktioner, så opfylder den ikke Weierstrass divisionsegenskaben med hensyn til . $M$ $C^{M}$ $C^{M}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2))$

Historie

Nøglespørgsmålet i dette emne er en analytisk funktions evne til entydigt at genoprette dens "globale udseende" fra værdierne af selve funktionen og dens afledte på et vilkårligt regelmæssigt punkt [4] . Émile Borel var den første til at opdage, at denne egenskab ikke kun gælder for analytiske funktioner.

I 1912 formulerede Jacques Hadamard spørgsmålet: hvad skulle rækkefølgen være for at ovennævnte " entydighedsbetingelse " skulle holde for ethvert funktionspar fra den tilsvarende klasse. Arnaud Denjoy gav i 1921 tilstrækkelige betingelser for kvasi-analyticitet og en række eksempler på kvasi-analytiske klasser (se Denjoy (1921 )). En fuldstændig løsning på problemet blev givet fem år senere af Thorsten Carleman (se Carleman (1926 )), som etablerede de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for kvasi-analyticitet [1] . $M_{n},$

Senere generaliserede S. N. Bernshtein og S. Mandelbroit begrebet kvasi-analyticitet til klasser af ikke-differentierbare og endda diskontinuerlige funktioner. Det enkleste eksempel er sæt af løsninger af en lineær differentialligning med kontinuerte koefficienter; funktionerne inkluderet i denne løsning har generelt set ikke et uendeligt antal afledede [5] ..

Noter

↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1979 , s. 798.
↑ Mandelbroit, 1937 , s. 10-12.
↑ Leontiev, 2001 .
↑ Mandelbroit, 1937 , s. 9-11.
↑ Gorny, 1938 , s. 171.

Litteratur

Gorny A. Kvasianalytiske funktioner // Fremskridt i matematiske videnskaber . - M. , 1938. - Nr. 5 . — S. 171–186 .
Leontiev A.F. Kvasianalytisk klasse af funktioner // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2. - S. 798-800.
Mandelbroit S. Kvasianalytiske klasser af funktioner. - M. - L .: ONTI NKTP, 1937.
Mandelbroit S. Tilstødende serie, regularisering af sekvenser. Ansøgninger, trans. fra fransk, Moskva: Udenlandsk litteratur, 1955.
Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars (fr.)
Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, CR Acad. sci. Paris T. 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. Kvasianalytisk klasse // Hazewinkel, Michiel . Encyclopedia of Mathematics. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .