Kvadratroden af en matrix er en udvidelse af begrebet en numerisk kvadratrod til en ring af kvadratmatricer .
En matrix kaldes kvadratroden af en matrix, hvis kvadratet , dvs. matrixproduktet er det samme som matrixen
Ikke alle matricer har en kvadratrod. For eksempel har matrixen ingen rod . Denne matrix er også en nuldeler og en kvadratrod af nul. I en matrixring har nul således uendeligt mange kvadratrødder.
I de tilfælde, hvor roden findes, er den ikke altid entydig bestemt. For eksempel har en matrix fire rødder: og .
Identitetsmatrixen har følgende 6 rødder blandt matricer bestående af , og :
samt uendeligt mange symmetriske rationelle kvadratrødder af formen:
hvor er en vilkårlig Pythagoras tripel , det vil sige en tripel af naturlige tal for hvilke .
Kompleksiteten ved at udtrække en rod fra en matrix skyldes det faktum, at matrixringen er ikke-kommutativ og har nul divisorer, det vil sige, at den ikke er et integritetsdomæne . I integritetsfeltet, for eksempel i ringen af polynomier over feltet , har hvert element højst to kvadratrødder.
En positiv bestemt matrix har altid præcis én positiv bestemt rod, som kaldes den aritmetiske kvadratrod [1] .
Alt i alt har en positiv-bestemt ordensmatrix med forskellige egenværdier rødder. Udvider vi en sådan matrix i form af egenvektorer, får vi dens repræsentation i form, hvor er en diagonal matrix med egenværdier . Så har kvadratrødderne af matricen formen hvor er en diagonal matrix med indgange på diagonalen.