Kvadratroden af en matrix

Kvadratroden af en matrix er en udvidelse af begrebet en numerisk kvadratrod til en ring af kvadratmatricer .

Definition

En matrix kaldes kvadratroden af en matrix, hvis kvadratet , dvs. matrixproduktet er det samme som matrixen $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {B}),$ $\mathbf {BB} ,$ $\mathbf {A} .$

Eksistens og unikhed

Ikke alle matricer har en kvadratrod. For eksempel har matrixen ingen rod . Denne matrix er også en nuldeler og en kvadratrod af nul. I en matrixring har nul således uendeligt mange kvadratrødder. $\left({\begin{smallmatrix}0&a\\0&0\end{smallmatrix}}\right),a\neq 0$

I de tilfælde, hvor roden findes, er den ikke altid entydig bestemt. For eksempel har en matrix fire rødder: og . $\left( \begin{smallmatrix}33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)$

Identitetsmatrixen har følgende 6 rødder blandt matricer bestående af , og : $\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr)$ $0$ $-en$ $+1$

\left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\mp 1\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{matrix}}\right);

samt uendeligt mange symmetriske rationelle kvadratrødder af formen:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}} \left({\begin{matrix}s&-r\\-r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}- s&r\\r&s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&-r\\-r&s\end{matrix}}\ ret),

hvor er en vilkårlig Pythagoras tripel , det vil sige en tripel af naturlige tal for hvilke . $(r,s,t)$ $r^2+s^2=t^2$

Kompleksiteten ved at udtrække en rod fra en matrix skyldes det faktum, at matrixringen er ikke-kommutativ og har nul divisorer, det vil sige, at den ikke er et integritetsdomæne . I integritetsfeltet, for eksempel i ringen af polynomier over feltet , har hvert element højst to kvadratrødder.

Positive bestemte matricer

En positiv bestemt matrix har altid præcis én positiv bestemt rod, som kaldes den aritmetiske kvadratrod [1] .

Alt i alt har en positiv-bestemt ordensmatrix med forskellige egenværdier rødder. Udvider vi en sådan matrix i form af egenvektorer, får vi dens repræsentation i form, hvor er en diagonal matrix med egenværdier . Så har kvadratrødderne af matricen formen hvor er en diagonal matrix med indgange på diagonalen. $EN$ $n$ $2^{n}$ $\mathbf {A} =\mathbf {VDV^{-1}} ,$ $\mathbf {D}$ $\lambda _{i}>0$ $EN$ $\mathbf{VD^\frac12V^{-1}},$ $\mathbf {D^{\frac {1}{2))}$ $\pm\sqrt{\lambda_i}$

Litteratur

Gantmakher F. R. . Matrix teori. Moskva: GITTL, 1953, s. 212-219.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Encyclopedia of Linear Algebra. Elektronisk system LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.

Noter