Kantors stige

Cantor-stigen er et eksempel på en kontinuerlig monoton funktion , der ikke er en konstant, men som har en afledet, der er nul på næsten alle punkter ( entalsfunktion ). Nogle gange kaldet "Devil's Staircase" eller "Devil's Staircase". [en] $[0,1]\til [0,1]$

Bygninger

Standard

I punkterne 0 og 1 antages værdien af funktionen at være henholdsvis 0 og 1. Yderligere er intervallet (0, 1) opdelt i tre lige store dele , og . På det midterste segment antager vi . De resterende to segmenter er igen opdelt i tre lige store dele hver, og på de midterste segmenter antages det lig med og . Hvert af de resterende segmenter er igen opdelt i tre dele, og på de indre segmenter er defineret som en konstant lig med det aritmetiske middel mellem tilstødende, allerede definerede værdier . På de resterende punkter af enhedssegmentet bestemmes af kontinuitet. Den resulterende funktion kaldes Cantor-stigen . $\left(0,{\frac {1}{3}}\right)$ $\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3}}\right)$ $\venstre({\frac {2}{3)),1\højre)$ $F(x)={\frac {1}{2}}$ $F(x)$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {3}{4))$ $F(x)$ $F(x)$

Ved binær og ternær notation

Ethvert tal kan repræsenteres i det ternære talsystem , . Hvis en 1 forekommer i posten, kasserer vi alle efterfølgende cifre fra den, og i den resterende rækkefølge erstatter vi hver to med 1. Den resulterende rækkefølge giver en registrering af værdien af Cantor-stigen på et punkt i det binære talsystem . $x\in[0,1]$ $x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}$ $a_{i}\in \{0,1,2\}$ $0{,}a_{1}a_{2}\prikker$ $0{,}b_{1}b_{2}\dots$ $x$

Egenskaber

Den afledte af Cantor-stigen er defineret og er nul på alle punkter undtagen Cantor-sættet .
Cantors stige er kontinuerlig , af begrænset variation , men ikke absolut kontinuerlig .
Cantor-stigen har ikke Luzin-ejendommen .

Kantors stige

Bygninger

Standard

Ved binær og ternær notation

Egenskaber

Se også

Links