Irrationel ligning

En irrationel ligning er en ligning , der indeholder det ukendte under rodens tegn eller hævet til en potens, der ikke kan reduceres til et heltal . Det enkleste eksempel på en irrationel ligning er ligningen eller . Nogle gange kan rødderne betegnes som det ukendtes rationelle kræfter, det vil sige, de skriver i stedet . $\surd$ ${\sqrt {x}}=2$ ${\sqrt[{3}]{x}}=-3$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ $x^{\frac {1}{n))$

Eksempler og klassifikation

$3(x+4)=x$ - da variablen ikke er under rodtegnet - er dette en algebraisk ligning. $x$
$3(y+z)^{2}=x-{\sqrt {\pi ))$ - da ingen af variablene , , er under rodtegnet, men er et konstant tal - er dette en algebraisk ligning. $z$ $y$ $x$ ${\sqrt {\pi ))$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}={\frac {1}{x}}$ - da variablen ikke er under rodens fortegn, og - et konstant tal er en rationel ligning. $x$ ${\sqrt 3}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{-1}$ - selv ligninger, hvor det ukendte står med negative potenser, er ikke irrationelle. Dette er igen en rationel ligning identisk med den ovenfor beskrevne. $x$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{0}$ er en algebraisk ligning, da $x^{0}=1$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{\frac {1}{2}}$ - da variablen hæves til en brøkpotens, som ikke kan reduceres til et heltal - er dette en irrationel ligning. $x$

Kort sagt kan reglen for at tildele ligninger til en eller anden kategori formuleres som følger:

hvis alle potenserne af de ukendte\'er i ligningen tilhører mængden af naturlige tal , så betragtes en sådan ligning som algebraisk. $\mathbb {N}$
hvis alle potenserne af de ukendte\er i ligningen hører til sættet af heltal , så kaldes en sådan ligning rationel. $\mathbb {Z}$
hvis alle potenserne af de ukendte\er i ligningen hører til mængden af rationelle tal , så kaldes en sådan ligning irrationel. $\mathbb {Q}$

Eksempler på mere komplekse irrationelle ligninger kan tjene som eksempler:

{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5

7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11

x^{2}+{\sqrt {x-1}}=10x+{\sqrt[{11}]{x-2}}+1

Forholdet til algebraiske ligninger

Enhver irrationel ligning ved hjælp af elementære algebraiske operationer (multiplikation, division, hævning af begge dele af ligningen til en heltalspotens) kan reduceres til en rationel algebraisk ligning . For eksempel kan en ligning ved at hæve til anden potens konverteres til formen , som ikke længere er en irrationel ligning, men en algebraisk. ${\sqrt {x^{2}+x}}=2$ $x^{2}+x=4$

Man skal huske på, at den resulterende rationelle algebraiske ligning muligvis ikke er ækvivalent med den oprindelige irrationelle ligning, den kan nemlig indeholde "ekstra" rødder, der ikke vil være rødderne til den oprindelige irrationelle ligning. Derfor, efter at have fundet rødderne til den opnåede rationelle algebraiske ligning, er det nødvendigt at kontrollere, om alle rødderne af den rationelle ligning vil være rødderne til den irrationelle ligning.

Løsning nærmer sig

I det generelle tilfælde er det vanskeligt at angive nogen universel metode til løsning af enhver irrationel ligning, da det er ønskeligt, at der som følge af transformationer af den oprindelige irrationelle ligning ikke kun opnås en form for rationel algebraisk ligning blandt rødderne af som der vil være rødderne til denne irrationelle ligning, men en rationel algebraisk ligning dannet af polynomier af så lidt grad som muligt. Ønsket om at opnå en rationel algebraisk ligning dannet ud fra polynomier af mindst mulig grad er ret naturligt, da det at finde alle rødderne til en rationel algebraisk ligning i sig selv kan være en ret vanskelig opgave, som vi kun kan løse fuldstændigt i et meget begrænset antal af sager.

Eksponentiering

Hvis begge dele af den irrationelle ligning hæves til samme ulige styrke og frigøres for radikaler, så opnås en ligning, der svarer til den oprindelige ligning.

Når en ligning hæves til en lige potens, opnås en ligning, der er en konsekvens af den oprindelige. Derfor er udseendet af uvedkommende løsninger af ligningen mulig. Grunden til at erhverve rødder er, at når man hæver til en lige potens tal, der er lige i absolut værdi, men forskellige i fortegn, opnås det samme resultat.

Bemærk, at tabet af rødder, når man hæver en ligning til en jævn potens, er umuligt, men der kan forekomme fremmede rødder. Overvej et eksempel:

Lad os løse ligningen ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Hæv begge sider af ligningen til anden potens

$({\sqrt {x^{2}+4x-5)))^{2}=(4x-8)^{2}$

da vi hæver til en jævn magt, er tilsynekomsten af fremmede rødder muligt, fordi ved selve processen med at hæve udvider vi rækken af acceptable værdier(ODZ) for radikale udtryk.

Så når den blev sidestillet med et kendt positivt tal (da , i kraft af definitionen af en aritmetisk rod), kunne variablen ikke antage værdier, der ville blive omdannet til negative tal, hvilket betyder eller . $4x-8$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0$ $x$ $4x-8$ $4x-8\geqslant 0$ $x\geqslant 2$

Med andre ord, på stedet med problemformuleringen fik vi også begrænsninger på værdierne af variablen (ODV) i formen . Men efter at have kvadreret begge sider, får vi ligningen $x\geqslant 2$

$x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$ ,

allerede hvor området for tilladelige værdier ( ODZ ) med en ændring er helt anderledes (nu kan det antage absolut alle værdier, det vil sige, at ODZ er udvidet i forhold til den oprindelige ligning). $x$ $x$

Det er klart, at sandsynligheden for fremmede rødder er steget dramatisk blot ved, at mange flere tal nu kan blive til en rod, og ikke kun dem, der . $x\geqslant 2$

Hvis vi fortsætter med at løse og forenkle, får vi en andengradsligning: $x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$

$15x^{2}-68x+69=0$ , hvis rødder er

$x=3$ og $x={\frac {23}{15}}$

Det skal bemærkes, at og er nøjagtigt rødderne til ligningen , men det vides endnu ikke, om de er rødderne til den oprindelige ligning. $x=3$ $x={\frac {23}{15}}$ $15x^{2}-68x+69=0$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Så vi ved, at rødderne af den oprindelige ligning ikke kan være mindre end 2, men i mellemtiden er roden mindre end to, hvilket betyder, at den ikke kan være roden til den oprindelige ligning. $x={\frac {23}{15}}\ca. 1,533333...$

Svar: ${\displaystyle x\in \{3\))$

Udskiftning af betingelserne

Brug af rodegenskaber

Introduktion af nye variabler

Indførelsen af en hjælpevariabel fører i nogle tilfælde til en forenkling af ligningen. Oftest bruges roden (radikal), der indgår i ligningen, som en ny variabel. I dette tilfælde bliver ligningen rationel i forhold til den nye variabel.

Eksempel 1 [1] : Løs ligningen $2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R}$

Lad os lave en erstatning , det er klart, at vi ved at gøre det har pålagt begrænsninger for den nye variabel i formen , da den aritmetiske rod ikke kan være et negativt tal. $y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}$ $y\geqslant {0}$

Efter at have hævet til anden potens, slipper vi af med rodens tegn og får udtrykket . Yderligere, efter substitution i den oprindelige ligning, får vi følgende ligning: $y$ $y^{2}=2x^{2}+3x+9$ $y$

$y^{2}+y-42=0$ ,

hvis rødder og . Men det kan ikke være et negativt tal på grund af det faktum, at vi definerede det gennem vores substitution, så vi vil kun overveje . Yderligere, ved at løse ligningen , får vi rødderne og . $y=6$ $y=-7$ $y$ $y$ $y=6$ ${\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6$ $x=3$ $x=-4,5$

Svar: $x\in \{3;-4.5\}$

Eksempel 2 [2] : Løs ligningen ${\sqrt[{3}]{x+28}}-{\sqrt[{3}]{x-9}}=1$

Lad os foretage to udskiftninger: og efter at have hævet dem til tredje potens, får vi og . Yderligere, at løse hver ny ligning for $u={\sqrt[{3}]{x+28))$ $v={\sqrt[{3}]{x-9))$ $u^{3}=x+28$ $v^{3}=x-9$ $x$

$x=u^{3}-28$ og , og efter at have udlignet disse ligninger, får vi ligningen , men i lyset af, hvordan vi introducerede og , har vi også ligningen , hvilket betyder, at vi har et ligningssystem: $x=v^{3}+9$ $u^{3}-28=v^{3}+9$ $u$ $v$ $uv=1$

${\begin{cases}uv=1\\u^{3}-v^{3}=37\end{cases))$

Efter at have løst systemet får vi værdierne og , hvilket betyder, at vi skal løse to ligninger mere: $v_{1}=3$ $v_{2}=-4$

${\sqrt[{3}]{x-9}}=3$ og , hvis løsninger og . ${\sqrt[{3}]{x-9}}=-4$ $x=36$ $x=-55$

Svar: $x\in \{36;-55\}$

Brug af omfang

Brug af området

Identitetstransformationer

Ved at bruge den afledede

Brug af majorant

Udtrykket " majorante " kommer fra det franske ord "majorante" , fra "majorer" - at erklære stor.

Majoranten af en given funktion på et givet interval er et tal A sådan, at enten for alle x fra det givne interval eller for alle x fra det givne interval. Hovedideen med metoden er at bruge følgende sætninger til at løse irrationelle ligninger: $f(x)$ $f(x)\leqslant {A}$ $f(x)\geqslant {A}$

Sætning nummer 1.

Lad og være nogle funktioner defineret på sættet . Lad det være afgrænset på denne mængde af tallet A fra oven, og afgrænset på dette sæt af det samme tal A , men nedefra. $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$

Så svarer ligningen til systemet: $f(x)=g(x)$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=A\end{cases))$

Sætning nummer 2.

Lad og være nogle funktioner defineret på sættet . Lad og afgrænses på dette sæt nedefra (fra oven) af henholdsvis tallene A og B . Så svarer ligningen til ligningssystemet: $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)+g(x)=A+B$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

Sætning nummer 3.

Lad og være nogle ikke-negative funktioner defineret på sættet . Lad det være afgrænset ovenfra (eller nedefra) af henholdsvis tallene A og B . Så er ligningen ækvivalent med ligningssystemet (forudsat at og ): $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $f(x)g(x)=AB$ $A>0$ $B>0$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

I denne erklæring er betingelsen om ikke-negativitet af funktionerne og særlig vigtig , såvel som betingelsen om positivitet af A og B. $f(x)$ $g(x)$

Eksempel:

løse ligningen ${\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}+{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=6$

Lad os introducere kortere notation: og . $f(x,y)={\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1))$ $g(x,y)={\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25))$

Værdier større end eller lig med 1, fordi det radikale udtryk er indlysende . Og kun hvis . Tilsvarende er værdierne ikke mindre end 5. Så vi kan skrive . Brug derfor sætning #2: $f(x,y)$ $(x-2y+1)^{2}+1$ $\geqslant {1}$ $f(x,y)=1$ $(x-2y+1)^{2}=0$ $g(x,y)$ $f(x,y)+g(x,y)=1+5$

${\begin{cases}f(x,y)=1\\g(x,y)=5\end{cases))$ eller ${\begin{cases}{\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}=1\\{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25} }=5\end{cases}}$

Ved at kvadrere begge ligninger får vi

${\begin{cases}(x-2y+1)^{2}=0\\(3x-y-2)^{2}=0\end{cases))$ , forenkling yderligere ${\begin{cases}x-2y+1=0\\3x-y-2=0\end{cases))$

Den eneste løsning på dette system $(1;1)$

Svar: $(1;1)$

Grafisk tilgang

I nogle tilfælde giver plot af en funktion dig mulighed for at evaluere mulige måder at løse en ligning på, antallet af rødder eller deres omtrentlige værdi.

Noter

↑ Akatkina Elena Mikhailovna. Metoder til løsning af irrationelle ligninger . Åben lektion.rf . (ubestemt)
↑ Eremenko Elena Vasilievna. Irrationelle ligninger . Åben lektion.rf . Hentet 24. oktober 2020. Arkiveret fra originalen 21. september 2020. (ubestemt)