Integral sinus

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. april 2019; checks kræver 2 redigeringer .

Integral sinus er en speciel funktion defineret af integralet [1] :

$\operatørnavn {Si}\,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

Nogle gange bruger de også notationen $\operatørnavn {si}\,x:$

$\operatørnavn {si}\,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t))\,dt=\operatørnavn {Si}\,x-{\ frac {\pi }{2}}.$

Integral sinus kan defineres gennem integral eksponentiel funktion i analogi med sinus [2] :

$\operatørnavn {si}\,x={\frac {1}{2i}}\venstre(\operatørnavn {Ei}\,(ix)-\operatørnavn {Ei}\,(-ix)\right).$

Integral sinus blev introduceret af Lorenzo Mascheroni i 1790.

Egenskaber

Integral sinus- ulige funktion :

\operatørnavn {Si}\,(-x)=-\,\operatørnavn {Si}\,x.

Integral sinus har asymptoter :

\lim _{{x\to +\infty }}\operatørnavn {Si}\,x={\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to +\infty }}\operatørnavn {si}\,x=0,

\lim _{{x\to -\infty }}\operatørnavn {Si}\,x=-{\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to -\infty }}\operatørnavn {si}\,x=-\pi .

Integral sinus har lokale ekstrema på punkter $x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots$

Serieudvidelse

\operatornavn {Si}\,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{ \frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}} }{(2n+1)!(2n+1)}}x^{{2n+1}}.

Denne serie bruges til den praktiske beregning af integral sinus, og i overensstemmelse med Leibniz-sætningen vil fejlen være mindre end modulet af den sidst taget led i denne række.

Se også

Noter

↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. // M.: Nauka, 1968. - S. 625.
↑ Bateman G., Erdeyi A. Higher transcendental functions, bind 2 // M.: Nauka, 1974. - S. 149.

Litteratur

Matematisk encyklopædisk ordbog. - M. , 1995. - S. 238.