Fredholm integralligning

Fredholm-integralligningen [1] er en integralligning, hvis kerne er Fredholm-kernen . Opkaldt efter den svenske matematiker Ivar Fredholm . Med tiden voksede studiet af Fredholm-ligningen til et selvstændigt afsnit af funktionsanalyse - Fredholm-teori , som studerer Fredholm-kerner og Fredholm-operatorer .

Generel teori

Den generelle teori baseret på Fredholm-ligningerne er kendt som Fredholm-teorien . Teorien betragter en integreret transformation af en særlig form

$\psi(s) = \int\grænser_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

hvor funktionen kaldes ligningens kerne, og operatoren defineret som $K$ $EN$

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$ , kaldes Fredholm-operatøren (eller integralet).

Et af de grundlæggende resultater er det faktum, at kernen i K er en kompakt operator , også kendt som Fredholm-operatoren . Kompakthed kan vises ved hjælp af ensartet kontinuitet . Som en operator kan spektralteori anvendes på kernen ved at studere spektret af egenværdier .

Ligning af den første slags

Den inhomogene Fredholm-ligning af den første slags har formen:

g(t)=\int\grænser_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds

og problemet er, at for en given kontinuerlig funktion af kernen og funktionen, find funktionen . $K(t,s)$ $g(t)$ $f(s)$

Hvis kernen er en funktion af forskellen mellem dens argumenter, det vil sige , og grænserne for integration , så kan højre side af ligningen omskrives som en foldning af funktioner , og derfor er løsningen givet af formlen $K(t,s)=K(ts)$ $\pm \infty$ $K$ $f$

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\venstre[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t) )](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t [K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega

hvor og er henholdsvis de direkte og inverse Fourier-transformationer . De nødvendige og tilstrækkelige betingelser for eksistensen af en løsning er defineret af Picards sætning . ${\mathcal {F}}_{t}$ $\mathcal{F}_\omega^{-1}$

Ligning af anden art

Den inhomogene Fredholm-ligning af den anden slags ser således ud:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

Problemet er at finde funktionen, der har en kerne og en funktion . I dette tilfælde afhænger eksistensen af en løsning og dens mangfoldighed af et tal kaldet det karakteristiske tal (det omvendte af det kaldes proper ). Standardløsningstilgangen bruger begrebet opløsningsmiddel ; løsningen skrevet som en serie er kendt som Liouville-Neumann-serien . $K(t, s)$ $f(t)$ $\varphi (t)$ $\lambda$

Noter

↑ BRE . Hentet 18. juni 2020. Arkiveret fra originalen 20. juni 2020. (ubestemt)

Foreslået læsning