Schwartz invariant

Schwartz-invarianten , Schwartz- afledten eller Schwarzian (nogle gange bruges notationen ) af en analytisk funktion er en differentialoperator af formen $(Sf)(z)$ $\{f,\;z\}$ $f(z)$

(Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f' '(z)}{f'(z)}}\højre)^{2}.

Egenskaber

Schwartz-invarianten af en lineær-brøkfunktion er lig med nul. Denne let verificerede kendsgerning er af stor fundamental betydning. Faktisk, hvis den anden afledede bestemmer målet for nærhed af en differentierbar funktion til en lineær, så udfører Schwartz-invarianten den samme rolle for en lineær-brøkfunktion.
Hvis er en analytisk funktion, og er en lineær-brøkdel afbildning, så vil relationen holde , det vil sige, at den lineære-fraktionelle afbildning ikke ændrer Schwartz-invarianten. På den anden side beregnes Schwartz-derivatet f o g ved formlen, $f$ $g$ $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$

(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.

Således udtrykket[ ryd op ]

{\displaystyle (S(f))(z)\ dz^{\nogle gange 2))

invariant under lineær-fraktionelle transformationer.

Mere generelt, for vilkårlige, tilstrækkeligt mange gange differentiable funktioner f og g

S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).

Vi introducerer en funktion af to komplekse variable

F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw))\right)

. Overvej udtrykket

{\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w))={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}}

. Schwartz-derivatet er udtrykt ved formlen

(Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.

Schwartz-derivatet har en simpel formel til at permutere f og z

(Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)

. Udtrykket har følgende betydning: vi betragter det som en koordinat, men som en funktion. Derefter beregner vi Schwarzian . Vi antager, at derfor, ved den inverse funktionssætning, faktisk er en lokal koordinat, a (ved at bruge denne observation bevises den sidste egenskab ved direkte beregning).

(Sz)(f)

f

z(f)

z(f)

f'\neq 0

f

z'(f)=1/f'(z)

Ligningen for Schwartz-invarianten

Overvej en almindelig differentialligning i formens analytiske funktioner . Så er dets to lineært uafhængige løsninger og opfylder relationen . ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0$ $f_1$ $f_{2}$ $\left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)$