Omvendt funktionssætning

Den inverse funktionssætning giver tilstrækkelige betingelser for eksistensen af en invers funktion i et område af et punkt i form af afledte af selve funktionen.

Sætningen generaliserer til vektorfunktioner . Der er også varianter af den omvendte funktionssætning for holomorfe funktioner , for glatte afbildninger mellem manifolds , for glatte funktioner mellem Banach-rum .

Formuleringer

Funktion med reel værdi

For en funktion af en variabel siger sætningen, at hvis er en kontinuerligt differentierbar funktion med en afledt ikke-nul i punktet , så er den inverterbar i nærheden af . Desuden er den inverse funktion kontinuerligt differentierbar, og $f$ $-en$ $f$ $-en$

{\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a))).

Funktioner af flere variabler

Hvis den jakobiske matrix af en kontinuerligt differentierbar funktion, der virker fra en åben delmængde af rum ind i rummet, er inverterbar i et punkt , så er funktionen selv inverterbar i et kvarter . $F$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $s$ $F$ $s$

Noter

Den anden del af sætningen følger af reglen for differentiering af funktioners sammensætning .
Eksistensen af en invers funktion svarer til at sige, at ligningssystemet kan have en løsning for givet , forudsat at og ligger i små kvarterer af hhv . $F$ $n$ $y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ $y_{1},\dots ,y_{n}$ $x$ $y$ $s$ $F(p)$

Eksempel

Overvej vektorfunktionen ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2))$

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y} \\\end{bmatrix}}.

Den jakobiske matrix har formen $F$

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y} \\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix)).

Dens determinant er :

\det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y =e^{2x}.

Bemærk det på ethvert tidspunkt Ifølge sætningen er der for hvert punkt et kvarter, som er inverterbart. $e^{2x}\neq 0$ $p\in \mathbb {R} ^{2}$ $F$

Bemærk dog, at det er irreversibelt over hele regionen. Virkelig, $F$ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$

for enhver . Især er ikke injektiv

(x,y)

F

Variationer og generaliseringer

Uendelig dimensionel kasus

I det uendelige-dimensionelle tilfælde skal man desuden kræve, at Fréchet-derivaterne i et punkt har en begrænset invers operator. $s$

Sorter

Den omvendte funktionssætning generaliserer til glatte afbildninger mellem glatte manifolds . Lad være en jævn kortlægning mellem glatte manifolds . Lad os antage, at forskellen $F\colon M\to N$

d_{p}F\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N

i et punkt er en lineær isomorfi . (Især .) Så eksisterer der et åbent kvarter sådan, at $s$ $\dim M=\dim N$ $U\ni p$

F|_{U}\colon U\to F(U)

er en diffeomorfisme .

Banach mellemrum

Lad og vær Banach rum , og vær et åbent kvarter af . Antag, at kortlægningen er kontinuerligt differentierbar, og dens differentiale er en afgrænset lineær isomorfi . Så er der et åbent kvarter og en løbende differentierbar kortlægning sådan, at for alle i . $x$ $Y$ $U$ $0\in X$ $F\colon U\to Y$ $d_{0}F\colon X\to Y$ $X\to Y$ $V\ni F(0)$ $G\colon V\to X$ $F(G(y))=y$ $y$ $V$