Spredningsloven

Spredningsloven eller spredningsforholdet i bølgeteorien er en funktion af bølgefrekvensens afhængighed af bølgevektoren :

\omega =\omega (\mathbf {k} )

Den matematiske form af denne afhængighed, som udtrykker forholdet mellem bølgens tidsmæssige og rumlige periodicitet, bestemmes af egenskaberne af de betragtede svingninger og det medium, hvori de udbreder sig.

Fra spredningsloven kan man få bølgens fase- og gruppehastigheder :

\mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} }{k)),\quad \mathbf { v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}

I det enkleste tilfælde af en lineær forbindelse falder disse hastigheder også sammen. $\omega$ $k$

Spredningslove eksisterer for bølger af enhver art, herunder elektromagnetiske og elastiske bølger . Begrebet bølge-partikel dualitet giver os mulighed for at skrive denne lov også for de Broglie-bølger forbundet med partikler, såsom elektroner.

Nogle gange er spredningsrelationen angivet som en afhængighed

E=E(\mathbf {k} )

for energien af et oscillationskvante ( foton , fonon ) eller en partikel, hvor er Planck -Dirac-konstanten . $E=\hbar \omega$ $\hbar$

Bølgeligning og spredning

I den harmoniske løsning af den klassiske bølgeligning afhænger fasehastigheden ikke af bølgetallet. Forskellige effekter, der opstår i et medium, kan imidlertid føre til fremkomsten af yderligere udtryk i differentialligningen, der beskriver udbredelsen af bølger i dette medium. Når man erstatter en harmonisk funktion i en sådan ligning , kan man se, at det stadig er en løsning, men forholdet mellem frekvens og bølgetal er ikke længere lineært, hvilket svarer til fasehastighedens afhængighed af bølgetallet.

Finde spredningsrelationen

Spredningsrelationer kan beregnes inden for rammerne af forskellige modeller af mediet.

Eksperimentelt måles de ikke direkte, men skal bestemmes ud fra analysen af bølgeudbredelsen. For eksempel kan spredningsloven for en elektromagnetisk bølge i et bestemt medium opnås baseret på målinger af frekvensafhængigheden af brydningsindekset .

Eksempler på bølger af forskellige typer

Spredning af synligt lys i optik

Spredning opstår, hvis fasehastigheden for bølgeudbredelse afhænger af dens bølgetal, hvilket opstår, når spredningsloven er ikke-lineær. Mediet, hvori der sker spredning, kaldes dispersion eller dispersivt medium . Glas er sådan et medium. Det kan vises, at den ikke-lineære spredningsrelation for bølger, der udbreder sig i glas, fører til en afhængighed af brydningsindekset af bølgelængden .

Glasspredning og Snells lov fører til muligheden for at bruge et glasprisme som det enkleste spektralinstrument (se billede).

Elastiske vibrationer af atomer i en kæde

Lad der være en endimensionel lineær kæde af atomer med masse , afstanden mellem dem . Lad os flytte atomet en lille afstand . På grund af afvigelsens lillehed vil atomernes interaktionskraft være kvasi-elastisk. $m$ $d$ $n$ $u_{n}$

Under hensyntagen til de nærmeste naboer kan smlaen, der virker på det th atom, skrives som $n$

F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{{n+1}})-\beta (u_{n}-u_{{n-1}})=\beta (u_{{n+ 1 }}-2u_{n}+u_{{n-1}}),

hvor er en koefficient. Bevægelsesligningen for det th atom har formen $\beta$ $n$

ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1 }-2u_{n}+u_{n-1})

Dens løsning søges i formen , hvor er bølgetal, const og er frekvensen. Derefter ${\displaystyle Ae^{i(kd-\omega t)))$ $k$ $A=\,$ $\omega$

-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^ {2}(kd/2),

hvor kommer det fra:

\omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,

hvor .

\,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m))

Dette er frekvensens afhængighed af bølgetallet, det vil sige spredningsloven, for en monoatomisk kæde.

Spredningslove for elektroner

I faststoffysik udtrykker spredningsloven forholdet mellem energien af en elektron og dens bølgevektor . Sådanne afhængigheder kan være ret komplekse. Baseret på dem beregnes den effektive masse af en elektron i forskellige kvantetilstande.

I halvledere , i elektronenergiområdet nær ledningsbåndets minimum, gentager spredningsforholdet ofte det tilsvarende udtryk for tilfældet med vakuum, men med en effektiv masse forskellig fra den for en fri elektron: $E$ $E_{c}$ $m^{*}$

E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}

Men efterhånden som energien stiger, modificeres udtrykket væsentligt.

Se også

Bølge spredning

Noter

Litteratur

Stefan A. Tau. Lineære bølger i medier med spredning // Ikke- lineære bølger . — M.: Mir, 1977.