Ampères lov

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. februar 2021; checks kræver 16 redigeringer .

Ampères lov - loven om vekselvirkning mellem elektriske strømme . Den blev først installeret af André Marie Ampère i 1820 til jævnstrøm. Af Ampères lov følger det, at parallelle ledere med elektriske strømme, der flyder i én retning, tiltrækker, og i modsatte retninger frastøder de. Ampères lov kaldes også den lov, der bestemmer den kraft, hvormed et magnetfelt virker på et lille segment af en strømførende leder. Kraften viser sig at være lineært afhængig af både strøm og magnetisk induktion . Udtrykket for den kraft , hvormed magnetfeltet virker på volumenelementet af en leder med strømtæthed , placeret i et magnetfelt med induktion , i International System of Units (SI) har formen: $B$ $d{\vec F}$ $dV$ $\vec j$ ${\vec {B}}$

d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.

Hvis strømmen løber gennem en tynd leder, så hvor er lederens "længdeelement" - en vektor med samme absolutte værdi og faldende i retning med strømmen. Så omskrives udtrykket for kraften som . ${\vec j}dV=Id{\vec l}$ $d{\vec l}$ $dl$ $d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\time {\vec {B}}$

Det fysiske indhold af Ampères lov

Ampères lov forstås som et sæt af udsagn og formler, der karakteriserer kraftpåvirkningen på en strømførende leder fra et magnetfelt – muligvis skabt af en anden strømførende leder. Loven definerer:

kraften af påvirkningen af et lille segment af en leder med strøm på et andet lille segment med strøm : $dl_{1}$ $I_1$ $dl_{2}$ $I_{2}$

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\ gange d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

, hvor og er radiusvektorerne af ledernes længdeelementer og , og er kraften af elementet (der skaber et felt i punktet ) på elementet ; er den magnetiske konstant;

{\vec {r}}_{1}

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {l}}_{2}

d^{2}{\vec {F}}_{12}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{2}

\mu_{0}

kraften af vekselvirkning af to ledende lukkede sløjfer af formen og med strømme og : $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ $I_{2}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}

, hvor og er radiusvektorerne , der løber gennem alle punkter i konturerne , , og er den kraft, med hvilken kontur-1 virker på kontur-2. Faktisk er dette integrationen af udtrykket fra det foregående afsnit;

{\mathbf {r}}_{1}

{\mathbf {r}}_{2}

C_{1}

C_{2}

{\mathbf {F}}_{{12}}

kraften, hvormed magnetfeltet virker på et segment af en leder med strøm (A), en flad sektion med strøm (A/m) eller et lille volumen med strøm (A/m 2 ): $dl$ $jeg$ $dS$ $\vec{i}$ $dV$ $\vec{j}$

d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\ gange {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {i}}dS\ gange {\vec {B)),\qquad d{\vec {F}}={\vec {j}}dV\times {\vec {B}}

. Kraftens retning bestemmes af reglen for beregning af krydsproduktet . Dens modul i tilfælde af en ledning er som , hvor er vinklen mellem og retningen af strømmen. Kraften er maksimal, når lederen er vinkelret på linjerne med magnetisk induktion ( ). Integration giver dig mulighed for at få feltets kraft på objektet som helhed.

d{\vec F}

dF=IBdl\sin \alpha

\alfa

{\vec {B}}

\alpha =90^{\circ }

Tilfældet med to parallelle ledere

Det mest berømte eksempel, der illustrerer Ampère-kraften, er følgende problem. I vakuum er to uendelige parallelle ledere placeret i en afstand fra hinanden, hvor strømme og strømme i samme retning . Det er nødvendigt at finde den kraft, der virker pr. længdeenhed af lederen. $r$ $I_1$ $I_{2}$

I overensstemmelse med Biot-Savart-Laplace-loven skaber en uendelig leder med strøm i et punkt på afstand et magnetfelt med induktion $I_1$ $r$

{\vec {B}}_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}}\, {\vec {e}}_{\varphi }

hvor er den magnetiske konstant , er en enhedsvektor langs en cirkel, hvis symmetriakse er en ledning med strøm . $\mu_0$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $I_1$

Ifølge Amperes lov finder vi den kraft, hvormed den første leder virker på en lille del af den anden: $d{\vec {l))$

d{\vec {F}}_{12}=I_{2}d{\vec {l}}\time {\vec {B}}_{1}(r).

Ifølge reglen for venstre hånd er den rettet mod den første leder (på samme måde er kraften, der virker på den første leder, rettet mod den anden leder). Derfor tiltrækkes dirigenter. $d{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {F}}_{21}$

Modulet for denne kraft ( er afstanden mellem lederne): $r$

dF_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.

Vi integrerer over sektionen af lederlængden (integrationsgrænser over fra 0 til ): $L$ $l$ $L$

F_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.

Hvis - enhedslængde, så sætter dette udtryk den ønskede interaktionskraft. $L$

Den resulterende formel bruges i SI til at bestemme den numeriske værdi af den magnetiske konstant . Faktisk er ampere , som er en af de grundlæggende SI-enheder, defineret i den som "styrken af en uforanderlig strøm, der, når den passerer gennem to parallelle retlinede ledere af uendelig længde og et ubetydeligt lille cirkulært tværsnitsareal, placeret i vakuum i en afstand af 1 meter fra hinanden, forårsaget ville på hver sektion af lederen 1 meter lang, vekselvirkningskraften lig med 2⋅10 −7 Newton " [1] . $\mu_0$

Af den opnåede formel og definitionen af amperen følger det således, at den magnetiske konstant er lig med H / A² eller, hvilket er det samme, H / m nøjagtigt . $\mu_0$ $4\pi \ gange 10^{{-7}}$ $4\pi \ gange 10^{{-7}}$

Manifestationer af Ampères lov

Elektrodynamisk deformation af dæk (ledere) af trefaset vekselstrøm på transformerstationer under påvirkning af kortslutningsstrømme .
Skubber skinnekanonernes ledere fra hinanden, når de affyres.

Ansøgning

Alle noder i elektroteknik, hvor der under påvirkning af et elektromagnetisk felt er en bevægelse af elementer, skal du bruge Ampères lov. Princippet for drift af elektromekaniske maskiner (bevægelse af en del af rotorviklingen i forhold til en del af statorviklingen ) er baseret på brugen af Ampères lov, og den mest udbredte og brugte enhed i næsten alle tekniske strukturer er en elektrisk motor , eller , som er strukturelt næsten det samme, en generator . Det er under indflydelse af Ampere-kraften, at rotoren roterer, da statorens magnetfelt påvirker dens vikling og sætter den i bevægelse. Alle elektriske køretøjer bruger Ampere-kraften til at rotere akslerne, som hjulene er placeret på (sporvogne, elbiler, elektriske tog osv.).

Det magnetiske felt sætter også mekanismerne i elektriske låse i gang (elektriske døre, skydeporte, elevatordøre). Med andre ord er enhver enhed, der kører på elektricitet og har bevægelige dele, baseret på udnyttelsen af Ampères lov.

Den finder også anvendelse i mange andre typer elektroteknik , for eksempel i et dynamisk hoved (højttaler): i en højttaler (højttaler) bruges en permanent magnet til at excitere en membran, der genererer lydvibrationer, og under påvirkning af et elektromagnetisk felt skabt af en nærliggende leder med strøm, virker Amperekraften, som ændres i overensstemmelse med den ønskede lydfrekvens.

Også:

Elektrodynamisk plasmakompression ; for eksempel i tokamaks , Z-pinch opsætninger .
Elektrodynamisk pressemetode .
Elektromagnetisk pumpe

Ampere kraft og Newtons tredje lov

Lad der være to tynde ledere med strømme og , der har form af kurver og , som er givet ved radius vektorer og . $I_1$ $I_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

For interaktionskræfterne fra uendeligt små sektioner af disse ledere er Newtons tredje lov ikke opfyldt. Ampère-kraften for anslaget af elementet i den første leder på elementet af den anden er nemlig ikke lig med kraften taget med det modsatte fortegn, der virker fra elementet af den anden leder på elementet i den første : $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})\neq -\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-I_{1}\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1}\ gange \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})

Her og er feltet skabt af henholdsvis sektionen af den første og sektionen af den anden ledning. Dette faktum kompromitterer på ingen måde Newtons dynamik, da jævnstrøm kun kan flyde i et lukket kredsløb - og derfor må Newtons tredje lov kun virke for de kræfter, som to lukkede strømførende ledere interagerer med. I modsætning til individuelle elementer gælder Newtons lov for lukkede sløjfer: $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}$ $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\ gange \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=-\mathbf {F} _{21}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) (I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))

hvor og er feltet skabt udelukkende af den første og helt af den anden ledning (og ikke af deres individuelle sektioner). Feltet er i hvert tilfælde fundet ved hjælp af Biot-Savart-Laplace-formlen . $\mathbf {B} _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{2))$

mere detaljeret præsentation

Lad der være to tynde ledere med strømme og , der har form af kurver og , som er givet ved radius vektorer og . Kraften, der virker på strømelementet i en ledning fra siden af strømelementet i den anden ledning, findes i overensstemmelse med Biot-Savart-Laplace-loven: strømelementet placeret ved punktet skaber et elementært magnetfelt ved punktet $I_1$ $I_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Ifølge Ampères lov er kraften, der virker fra siden af feltet på det aktuelle element, der er placeret ved punktet , lig med $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Det aktuelle element, der er placeret ved punktet, skaber et elementært magnetfelt ved punktet $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2} [\mathbf {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Amperekraften, der virker fra siden af feltet på det aktuelle element, der er placeret ved punktet, er lig med $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

I det generelle tilfælde, for vilkårlige og kræfter og er ikke engang collinear, hvilket betyder, at de ikke adlyder Newtons tredje lov :. ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0$

Dette resultat indikerer dog ikke fejlen i Newtons dynamik i dette tilfælde. Generelt kan jævnstrøm kun løbe i en lukket sløjfe. Derfor bør Newtons tredje lov kun gælde for de kræfter, som to lukkede strømførende ledere interagerer med. Det kan ses, at for to sådanne ledere er Newtons tredje lov opfyldt.

Lad kurverne og være lukket. Så skaber strømmen et magnetfelt ved punktet $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb { C} _{1)){\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{| \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},

hvor integration over udføres i strømretningen . Amperekraften, der virker fra siden af feltet på kredsløbet med strøm , er lig med $C_{1}$ $I_1$ $\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $C_{2}$ $I_{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\ gange \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\ gange {\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3))))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3} }},

hvor integration over udføres i strømretningen . Integrationsrækkefølgen er ligegyldig. $C_{2}$ $I_{2}$

På samme måde er Ampère-kraften, der virker fra siden af feltet, der skabes af strømmen på kredsløbet med strømmen , lig med $\mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ $I_{2}$ $C_{1}$ $I_1$

\mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\ gange \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\ mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^ {2}\mathbf {F} _{21}.

Lighed er lig med lighed $\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}- \mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}

For at bevise denne sidste lighed skal du bemærke, at udtrykket for Ampère-kraften er meget lig udtrykket for cirkulationen af et magnetfelt i et lukket kredsløb, hvor det ydre prikprodukt er erstattet af krydsproduktet.

Ved at bruge Lagrange-identiteten kan det dobbelte vektorprodukt på venstre side af ligheden, der bevises, skrives som følger:

[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf { r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).

Så har venstre side af den lighed, der bevises, formen:

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^ {3}}}.

Overvej separat integralet , som kan omskrives i følgende form: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\ oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Ved at ændre variablen i det indre integral til , hvor vektoren skifter langs en lukket kontur , finder vi, at det indre integral er gradientfeltets cirkulation langs en lukket kontur. Så det er lig med nul: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} ( \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {3}}}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}(\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\ mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Det betyder, at hele det dobbeltkurvilineære integral er lig med nul. I dette tilfælde kan kraften skrives: ${\mathbf {F}}_{{12}}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Udtrykket for kraften kan udledes af udtrykket for kraften , blot ud fra symmetriovervejelser. For at gøre dette vil vi erstatte indekserne: vi ændrer 2 til 1 og 1 til 2. I dette tilfælde kan vi for kraften skrive: ${\mathbf {F}}_{{21}}$ ${\mathbf {F}}_{{12}}$ ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Nu er det helt tydeligt, at . Det betyder, at Ampère-styrken opfylder Newtons tredje lov i tilfælde af lukkede ledere. $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Nogle historiske aspekter

Effektdetektion

I 1820 opdagede Hans Christian Ørsted , at en ledning, der fører strøm, skaber et magnetfelt og får kompasnålen til at afbøje. Han bemærkede, at magnetfeltet var vinkelret på strømmen og ikke parallelt med det, som man kunne forvente. Ampère, inspireret af demonstrationen af Oersteds eksperiment, opdagede, at to parallelle ledere, der fører strøm, tiltrækkes eller frastødes, afhængigt af om strømmen løber i samme eller modsatte retninger. Så strømmen producerer ikke kun et magnetfelt, men magnetfeltet virker på strømmen. Allerede en uge efter Ørsted annoncerede sin oplevelse, tilbød Ampère en forklaring: Lederen virker på magneten, fordi strømmen løber i magneten ad mange små lukkede baner [2] [3] .

Valg af formlen for kraft

Loven om vekselvirkning mellem to elementære elektriske strømme, kendt som Ampères lov, blev faktisk senere foreslået af Grassmann (det vil sige, det ville være mere korrekt at kalde det Grassmanns lov).

Den oprindelige Ampères lov havde en lidt anden form: kraften, der virker fra siden af det nuværende element, der er placeret på punktet på det nuværende element, der er placeret ved punktet, er lig med ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\left( 2(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\ mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}\right)

Kraften, der virker fra siden af det aktuelle element, der er placeret ved punktet på det aktuelle element, der er placeret ved punktet, kan fås fra kraftformlen blot ud fra symmetriovervejelser, ved at erstatte indekserne: 2 med 1 og 1 med 2. $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

I dette tilfælde , det vil sige, at den oprindelige Ampères lov opfylder Newtons tredje lov allerede for differentialformen. Ampère, efter at have prøvet en række udtryk, besluttede sig for netop dette. $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Hvis det, når man overvejer en opgave med at beregne interaktionskraften af (faktisk ikke-konstante) åbne strømme, er umuligt at affinde sig med en overtrædelse af Newtons tredje lov, er der en mulighed for at bruge den oprindelige Ampères lov. Ved Grassmanns lov skal en yderligere fysisk enhed, magnetfeltet, indgå i vederlaget for at kompensere for manglende overholdelse af den tredje lov.

Det kan bevises, at i den integrale form af den oprindelige Ampères lov er de kræfter, som to lukkede ledere med jævnstrøm interagerer med, de samme som i Grassmanns lov.

bevis

For at bevise dette skriver vi kraften i følgende form: ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }+{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)){\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{ 1}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}).

For at kraften skal vise sig at være den samme som i Grassmanns lov, er det naturligvis nok at bevise, at det andet led er lig med nul. Yderligere vil vi betragte det andet led uden nogen koefficienter foran integralernes fortegn, da disse koefficienter ikke er lig med nul i det generelle tilfælde, og derfor skal det dobbeltkurvilineære integral selv være lig med nul.

Så lad os betegne . Og det skal du bevise $\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}((\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}})$ $\mathbf {P} =0$

Lad os antage, at integration udføres først langs konturen . I dette tilfælde er det muligt at lave en ændring af variabel: , hvor vektoren ændres i en lukket sløjfe . Så kan man skrive ${\mathbf {P}}$ $C_{2}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {\mathbf {r } }{|\mathbf {r} |^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} )-3{\frac { (\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {2}}}).

Nu, når der integreres over konturen , vil der blive opnået en eller anden vektorfunktion af , som så vil blive integreret over konturen . $C_{2}'$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $C_{1}$

Det kan bevises, at det kan repræsenteres som , hvor begge gradienter overtages variablen . Beviset er trivielt, det er tilstrækkeligt til at udføre proceduren med at tage gradienterne. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} ),\mathrm {d} \mathbf {r } _{en})$ $\mathbf {r}$

Yderligere kan vi ifølge Lagrange-identiteten skrive:

{\begin{aligned}&\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=\nabla (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=[\mathrm {d} \mathbf { r} ,[\nabla ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})]]+(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\nabla )\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})=\\&=0+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial y}\mathrm {d} y+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial z}\mathrm {d} z=\mathrm {d} (\ mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))\\\end{aligned}}.

Her viste nul sig at være en gradientfeltrotor. Resultatet er den totale differential af vektorfunktionen

$\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})$ . Så nu kan vi repræsentere det som . Dette integral kan tages ved at integrere hver projektion separat. Lad os f.eks. integrere projektionen x. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})$

P_{x}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}x(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }x).

Integralet af den samlede differens over enhver lukket sløjfe er lig med nul: , derfor vil det have formen: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) )=0$ $P_{x}$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C } _{2}'}\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d} x)=\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}- \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\mathrm {d} x_{2}).

Denne gang skal vi først integrere over konturen . Lad os lave en ændring af variabel: , hvor vektoren ændres langs en lukket kontur . Så kan man skrive $C_{1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))$ $\mathbf {r}$ $C_{1}'$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'} (\mathrm {d} \mathbf {r} ,{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3))})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathrm {grad} ({ \frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0,

hvor gradienten igen overtages variablen . $\mathbf {r}$

Da gradientfeltets cirkulation langs en lukket kontur igen dukkede op i udtrykket, så . $P_{x}=0$

På samme måde kan vi skrive for de resterende to fremskrivninger:

P_{y}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}y(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (y\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }y)=0,

P_{z}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}z(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (z\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }z)=0.

Så . $\mathbf {P} =0$

Maxwell foreslog den mest generelle form for loven om vekselvirkning mellem to elementære ledere med strøm, hvor koefficienten k er til stede (den kan ikke bestemmes uden nogle antagelser baseret på eksperimenter, hvor den aktive strøm danner et lukket kredsløb) [4] :

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{2}}{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4 \pi }\left({\begin{aligned}&(3-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3 ))}-3(1-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r } _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf { r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{5))}-\\&-(1+k){\frac { \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathbf {d} \mathbf {r} _{2}) }{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\\\end{aligned}}\right).

I sin teori tog Ampère , Gauss sagde , ligesom Grassmann og Clausius . I ikke-æteriske elektroniske teorier adopterede Weber og Riemann adopterede . Ritz efterlod udefineret i sin teori. $k=-1$ $k=+1$ $k=-1$ $k=+1$ $k$

For kraften af vekselvirkning af to lukkede konturer og med et standardudtryk opnås. $C_{1}$ $C_{2}$ $k=+1$

beregningsdetaljer

{\begin{aligned}&\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi } \left({\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r } _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}| ^{3}}}\right)=\\&={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\left({\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _ {1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2 }|^{3}}}\right)\\\end{aligned}}.

Her blev de to første led kombineret efter Lagrange-identiteten, mens det tredje led, når det integreres over lukkede konturer , vil give nul. Virkelig, $C_{1}$ $C_{2}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}=\venstre[{\begin{aligned}&\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\\&C_{1}\rightarrow C_{1}'\\\end{aligned}}\right]=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{ |\mathbf {r} |^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{ \mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {grad} {\frac {1}{|\mathbf {r} |}},\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Således får vi formen af Ampères lov givet af Maxwell:

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}.

Selvom kraften altid er den samme for forskellige , kan kraftmomentet variere. For eksempel, når to uendelige ledninger krydset i rette vinkler interagerer, vil vekselvirkningskraften være nul. Hvis vi beregner tidspunktet for kræfter, der virker på hver af ledningerne ved hjælp af Grassmann-formlen, vil ingen af dem være lig med nul (selvom de vil være lig med nul i alt). Hvis vi beregner kraftmomentet i henhold til den oprindelige Ampères lov, vil hver af dem være lig nul. $k$

Ampères lov som en relativistisk effekt

Elektrisk strøm i en leder er bevægelsen af ladninger i forhold til andre ladninger. Denne bevægelse fører til effekter i SRT , som i klassisk fysik forklares med en separat fysisk enhed - magnetisme. I SRT kræver disse effekter ikke indførelse af magnetisme, og i den første tilnærmelse er det tilstrækkeligt at overveje Coulomb-interaktionerne. For at beskrive Ampères lov indenfor SRT beskrives en metalleder ved en ret linje med en vis lineær tæthed af positive ladninger og en ret linje med mobile ladninger. Ladningen er invariant , så effekten af Lorentziansk længdekontraktion skaber en forskel mellem tætheden af positive og negative ladninger i en oprindeligt neutral metallisk ledning. Derfor opstår der en tiltrækkende eller frastødende kraft mellem to strømførende ledere. [5] [6]

Noter

↑ GOST 8.417-2002. Statssystem til sikring af ensartethed af målinger. Enheder af mængder. (utilgængeligt link) . Hentet 7. november 2012. Arkiveret fra originalen 10. november 2012. (ubestemt)
↑ Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey. The Quest for Unity: The Adventure of Physics . - New York: Oxford University Press, 1999. - S. 43-44 . — ISBN 0-19-512085-X .
↑ Roger G Newton. Fra urværk til crapshoot: A History of Physics . - The Belknap Press of Harward University Press, 2007. - S. 137 . - ISBN 978-0-674-03487-7 .
↑ Maxwell, James Clerk. Afhandling om elektricitet og magnetisme. - Oxford, 1904. - S. 173.
↑ Foredrag 1. Magnetostatik. Relativistisk karakter af magnetfeltet. // St. Petersborg Polytekniske Universitet i Peter den Store (SPbPU) . Hentet 27. december 2018. Arkiveret fra originalen 28. december 2018. (ubestemt)
↑ Savelyev I.V. Kursus i generel fysik: Proc. godtgørelse. I 3 bind T. 2. Elektricitet og magnetisme. Bølger. Optik. - 3. udg., Rev. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1988. - 496 s. s. 120