Nåleproblem

Nåleproblemet er at bestemme minimumsarealet af en figur på et plan, hvor et enkelt segment, "nålen", kan drejes 180 grader, og returnere det til sin oprindelige position med en omvendt orientering. Dette kan gøres i en cirkel med en radius på 1/2. Et andet eksempel - en figur afgrænset af en deltoid - er vist på billedet, den har et mindre område.

Det viser sig, at det er muligt at konstruere en figur med et vilkårligt lille areal.

Historie

Dette spørgsmål blev overvejet af Kakeya . Han beviste, at for konvekse områder nås minimumsarealet af en ligesidet trekant med højden 1. Dens areal er [1] .

Måske har Kakeya også antaget, at en figur afgrænset af en deltoideus , som i figuren, har det mindste areal. Denne påstand er blevet tilbagevist af Besikovich .

Besicovitch-sættet

Besikovich konstruerede et kompakt sæt nulmål indeholdende et enhedssegment i enhver retning.

Heraf følger let, at nålen kan foldes ud i en figur af et vilkårligt lille område. Det er faktisk let at se, at enhedscirklen kan opdeles i sektorer og placeres i et vilkårligt lille kvarter af sættet ved en parallel oversættelse .

Bemærk, at enhedssegmentet kan flyttes til en parallel linje i en figur med et vilkårligt lille areal. Derfor, ved at dreje et segment i én sektor, kan det trækkes til den næste, idet det passerer gennem et sæt vilkårligt lille område; ved at gentage denne operation flere gange, opnår vi den nødvendige tur.

Variationer og generaliseringer

• I Besikovichs konstruktion, da arealet af en figur har en tendens til nul, har dens diameter en tendens til uendelig. I 1941 viste H.J. Van Alphen [2] at en nål kan sættes ind i en figur med et vilkårligt lille område, som er inde i en cirkel med en radius på 2 + ε (for en vilkårlig ε > 0).

• Der er simpelthen tilsluttet passende (hvor nålen kan drejes) sæt med et areal, der er mindre end figuren afgrænset af deltoideus.
  • Sådanne eksempler blev fundet i 1965. Melvin Bloom og I. Yu. Schoenberg viste, at deres område kan gøres vilkårligt tæt på .
  • I 1971 viste Cunningham [3] , at der for enhver ε > 0 eksisterer en passende simpelt forbundet figur med et areal mindre end , indeholdt i en cirkel med radius 1.

• Vi definerer et Besicovitch-sæt i R n som et sæt af nulmål, der indeholder et enhedssegment i enhver retning (en sådan mængde kaldes også et Kakeya-sæt eller et Kakeya-sæt). Den såkaldte Kakeya-formodning siger, at Besicovitch-sæt har dimension n (ifølge Hausdorff og ifølge Minkowski ), det vil sige lig med dimensionen af ​​det omgivende rum.
  • Kakeis formodning er sand i dimension 1 og 2 [4] .
  • Wolff viste [5] , at i et n -dimensionelt rum skal dimensionen af ​​Besicovitch-sættet være mindst ( n + 2)/2.
  • I 2002 forbedrede Katz og Tao Wolffs skøn [6] ved at vise, at dimensionen ikke kan være mindre end . Denne grænse er bedre for n > 4.

• Vi definerer et ( n , k )-Besicovitch-sæt som et kompakt sæt i R n af mål nul, der i hver k - dimensionel retning indeholder en k -dimensionel enhedsskive. Formodninger om ( n , k )-Besicovitch-sæt: ( n , k )-Besicovitch-sæt findes ikke for k > 1.
  • I 1979 beviste Marstrand [7] at der ikke er noget (3, 2)-Besicovitch sæt.
  • Omtrent samtidig beviste Faulkner [8] at der ikke er nogen ( n , k )-sæt for 2 k > n .
  • Det hidtil bedste skøn tilhører Bourgain, som beviste [9] at mængder med 2 k -1 + k > n ikke eksisterer.

• I 1997 [10] og 1999 [11] beviste Wolff, at sæt, der indeholder en kugle af enhver radius, skal have fuld dimension, det vil sige dimensionen af ​​det omgivende rum.

• Elias Stein beviste [12] at ethvert sæt, der indeholder en kugle omkring hvert punkt, skal have et positivt mål for n ≥ 3, og Marstrand beviste det samme [13] for tilfældet n = 2.

• I 1999 formulerede Wolff en analog til nåleproblemet for endelige felter . Lad F  være et begrænset felt. En mængde K ⊆ F n kaldes en Besicovitch-mængde, hvis der for hver vektor y ∈ F n eksisterer x ∈ F n , således at K indeholder alle vektorer af formen { x + ty  : t ∈ F }.

• Nåleproblem i rummet over et begrænset felt : Antallet af elementer i K er mindst c n | F | n , hvor c n >0 er en konstant, der kun afhænger af n .
• Dvir [14] [15] beviste denne formodning for c n = 1/ n ! ved at bruge følgende argument. Dvir bemærkede, at ethvert polynomium med n graders variabler mindre end | F |, som er lig med nul på Besicovitch-sættet, skal være identisk lig med nul. På den anden side polynomier med n graders variable mindre end | F | danne et vektorrum af dimension

Derfor eksisterer der mindst et ikke-trivielt polynomium af grad mindre end | F |, som er lig med nul på et vilkårligt sæt med et mindre antal punkter. Derfor skal Besikovich-sættet have mindst | F | n / n ! point. Dvir skrev et reviewpapir om dette problem. [fjorten]

Ansøgninger

• I 1971 brugte Fefferman [16] konstruktionen af ​​Besicovitch-sættet til at vise, at i dimensioner større end 1, kan afkortede Fourier-integraler overtaget kugler centreret i origo med radier, der tenderer mod uendelig, ikke konvergere i L p -normen ved p ≠ 2 (i modsætning til det endimensionelle tilfælde, hvor sådanne trunkerede integraler konvergerer).

Se også

• Deltoid
• Lebesgue problem
• Masser af Nikodemus

Noter

1. ↑ Pal, Julius. Ueber ein elementares variationsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1–35.
2. ↑ Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
3. ↑ Cunningham, F. Kakeya-problemet for enkelt forbundne og stjerneformede sæt // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, no. 2. - S. 114-129. - doi : 10.2307/2317619 .
4. ↑ Davies, Roy. Nogle bemærkninger om Kakeya-problemet // Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1971. - T. 69, no. 3. - S. 417-421. - doi : 10.1017/S0305004100046867 .
5. ↑ Wolff, Thomas. En forbedret grænse for maksimale funktioner af Kakeya-typen // Rev. Måtte. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. - doi : 10.4171/rmi/188 .
6. ↑ Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. Nye grænser for Kakeya-problemer // J. Anal. Math.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. - doi : 10.1007/BF02868476 .
7. ↑ Marstrand, JM Packing Planes in R 3 // Mathematika. - 1979. - T. 26, udg. 2. - S. 180-183. - doi : 10.1112/S0025579300009748 .
8. ↑ Falconer, KJ Kontinuitetsegenskaber for k-planintegraler og Besicovitch-sæt // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1980. - T. 87, no. 2. - S. 221-226. - doi : 10.1017/S0305004100056681 .
9. ↑ Bourgain, Jean . Besicovitch-type maksimale operatorer og applikationer til Fourier-analyse // Geom. Funktion. Anal.. - 1997. - Vol. 1, udgave. 2. - S. 147-187. - doi : 10.1007/BF01896376 .
10. ↑ Wolff, Thomas. Et Kakeya-problem for cirkler // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119, udg. 5. - S. 985-1026. - doi : 10.1353/ajm.1997.0034 .
11. ↑ Wolff, Thomas (1999).
12. ↑ Stein, Elias. Maksimale funktioner: Sfærisk betyder // PNAS. - 1976. - T. 73, udg. 7. - S. 2174-2175. - doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482
13. ↑ Marstrand, JM Pakning af cirkler i flyet // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37–58. - doi : 10.1112/plms/s3-55.1.37 .
14. ↑ 1 2 Dvir, Zeev (2009).
15. ↑ Dvirs bevis på det endelige felt Kakeya formodning Arkiveret 3. maj 2016 på Wayback Machine // Terence Tao (2008-03-24).
16. ↑ Fefferman, Charles. Multiplikatorproblemet for bolden // Annals of Mathematics. - 1971. - T. 94, no. 2. - S. 330-336. - doi : 10.2307/1970864 .

Litteratur

• Yaglom IM , Boltyansky VG Konvekse figurer . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 s. - (Den matematiske cirkels bibliotek, nummer 4).

• Besicovitch, Abram (1963). "Kakeya-problemet". American Mathematical Monthly 70 (7): 697-706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .

• Dvir, Zeev (2009). "På størrelsen af ​​Kakeya-sæt i endelige felter". Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093-1097. arXiv : 0803.2336 . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). Fraktalsæts geometri . Cambridge Tracts in Mathematics 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). "Nogle problemer med maksimum og minimum mht. ovaler". Tohoku videnskabsrapporter 6 : 71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Isabella; Tao, Terence (2000). "En forbedret grænse for Minkowski-dimensionen af ​​Besicovitch sætter ind " (PDF). Annals of Mathematics 152 (2): 383-446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 .
• Wolff, Thomas (1999). "Seneste arbejde forbundet med Kakeya-problemet". I Rossi, Hugo. Prospects in Mathematics: Invited Talks i anledning af Princeton Universitys 250-års jubilæum . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Isabella; Shubin, Carol, red. Forelæsninger om harmonisk analyse . Universitetsforelæsningsrække 29 . Med et forord af Charles Fefferman og forord af Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254 .
• Kakeya-problemet og forbindelser til harmonisk analyse ved University of British Columbia.
• Besicovitch ved UCLA
• Kakeya nåleproblem i mathworld
• En introduktion til Besicovitch-Kakeya-sæt