Fire terninger problem

Problemet med fire terninger er at finde alle heltalsløsninger af den diofantiske ligning :

x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}.

Det skal bemærkes, at selvom flere komplette løsninger af denne ligning i rationelle tal er blevet foreslået , er dens komplette løsning i heltal ikke kendt fra 2018 [1] .

Historie

Selv vidste Platon , at summen af terningerne på siderne i den pythagoræiske trekant også er en terning [2] , som han nævner i sin " State " [3] . $3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

Eksempler på heltalsløsninger

Mindst naturlige løsninger:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}

3^3+10^3+18^3=19^3

7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}

4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}

18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}

11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}

2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}

6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}

16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}

Hvis negative værdier er tilladt, gælder identiteterne:

-1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}

-2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}

-2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}

-2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}

-3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}

Fuldfør rationelle parametriseringer

G. Hardy & Wright (1938) [4] [5]

$x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}$ $y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}$ $z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$ $w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$

N. Elkis [1]

{\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})ts^{3}+rs^{2}- 2r^{2}sr^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+ rs ^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2} + 2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{ 2 }-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}

Andre serier af løsninger

Leonhard Euler , 1740

$x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})$ $y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})$ $z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$ $w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$

Linnik , 1940

$x=b(a^{6}-b^{6})$ $y=a(a^{6}-b^{6})$ $z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})$ $w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})$

$x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}$ $y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}$ $z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2 }$ $w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2 }$

$x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}$ $y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}$ $z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2 }$ $w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2 }$

Roger Heath-Brown [1] , 1993

$x=9a^{4}$ $y=3a-9a^{4}$ $z=1-9a^{3}$ $w=1$

Mordell , 1956

$x=9a^{3}b+b^{4}$ $y=9a^{4}$ $z=-b^{4}$ $w=9a^{4}+3ab^{3}$

$x=9a^{3}bb^{4}$ $y=9a^{4}-3ab^{3}$ $z=b^{4}$ $w=9a^{4}$

$x=9a^{3}b+b^{4}$ $y=9a^{3}bb^{4}$ $z=9a^{4}-3ab^{3}$ $w=9a^{4}+3ab^{3}$

Opløsning opnået ved metoden for algebraisk geometri ( en:Fermat cubic )

$x=3a\venstre(a^{2}+ab+b^{2}\højre)-9$ $y=\venstre(a^{2}+ab+b^{2}\højre)^{2}-9a$ $z=3\venstre(a^{2}+ab+b^{2}\højre)(a+b)+9$ $w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)$

Ramanujan

$x=3a^{2}+5ab-5b^{2}$ $y=4a^{2}-4ab+6b^{2}$ $z=5a^{2}-5ab-3b^{2}$ $w=6a^{2}-4ab+4b^{2}$

$x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})$ $y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}$ $z=a^{6}-1-3b-3b^{2}$ $w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)$

$x=-a^{2}+9ab+b^{2}$ $y=a^{2}+7ab-9b^{2}$ $z=2a^{2}-4ab+12b^{2}$ $w=2a^{2}+10b^{2}$

Ukendt forfatter, 1825

$x=a^{9}-3^{6}$ $y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}$ $z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}$ $w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a$

D. Lemaire, 1955

$x=3888a^{{10}}-135a^{4}$ $y=-3888a^{{10}}-1296a^{7}-81a^{4}+3a$ $z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1$ $w=1$

V. B. Labkovsky

$x=4b^{2}-11b-21$ $y=3b^{2}+11b-28$ $z=5b^{2}-7b+42$ $w=6b^{2}-7b+35$

Hardy og Wright

$x=a(a^{3}-2b^{3})$ $y=b(2a^{3}-b^{3})$ $z=b(a^{3}+b^{3})$ $w=a(a^{3}+b^{3})$

$x=a(a^{3}-b^{3})$ $y=b(a^{3}-b^{3})$ $z=b(2a^{3}+b^{3})$ $w=a(a^{3}+2b^{3})$

G. Alexandrov, 1972

$x=7a^{2}+17ab-6b^{2}$ $y=42a^{2}-17ab-b^{2}$ $z=56a^{2}-35ab+9b^{2}$ $w=63a^{2}-35ab+8b^{2}$

$x=7a^{2}+17ab-17b^{2}$ $y=17a^{2}-17ab-7b^{2}$ $z=14a^{2}-20ab+20b^{2}$ $w=20a^{2}-20ab+14b^{2}$

$x=21a^{2}+23ab-19b^{2}$ $y=19a^{2}-23ab-21b^{2}$ $z=18a^{2}+4ab+28b^{2}$ $w=28a^{2}+4ab+18b^{2}$

$x=3a^{2}+41ab-37b^{2}$ $y=37a^{2}-41ab-3b^{2}$ $z=36a^{2}-68ab+46b^{2}$ $w=46a^{2}-68ab+36b^{2}$

$x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}$ $y=36a^{2}-22ab+b^{2}$ $z=40a^{2}-40ab+12b^{2}$ $w=48a^{2}-40ab+10b^{2}$

Ajai Choudhry 1998 [6]

$dx_{1}=(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})+(2a+b )c^{3},$ $dx_{2}=-\{a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}-(ab) c^{3}\},$ $dx_{3}=c(-a^{3}+b^{3}+c^{3}),$ $dx_{4}=-\{(2a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})c+c^{4}\},$

hvor tallene er vilkårlige heltal, og tallet er valgt på en sådan måde, at betingelsen er opfyldt . $a,b,c$ $d\ne 0$ $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=1$

Koroviev, 2012

$x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$ $y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$ $z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$ $w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$

hvor , og er ethvert heltal. [7] $-en$ $b\,,\,c$ $d$

Se også

Noter

↑ 1 2 Cohen, Henri 6.4 Diofantligninger af grad 3 // Talteori – bind I: Værktøjer og diofantligninger . - Springer-Verlag , 2007. - Vol. 239- ( Kandidattekster i matematik ). - ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ Perelman Ya.I. Underholdende algebra / Redigeret og med tilføjelser af V.G. Boltyansky .. - Elvte udgave. - Moskva: Forlaget "Nauka": Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1967. - S. 120 -121. - 200 sek.
↑ Mario Livio . φ - Guds nummer. Det gyldne snit er universets formel . - AST, 2015. - S. 110. - ISBN 978-5-17-094497-2 .
↑ En introduktion til talteorien . — Første udgave — Oxford: Oxford University Press , 1938.
↑ Citat fra afsnit "1.3.7 Ligning " fra Hardy og Wrights bog ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=t^{3))$
↑ Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Arkiveret 21. juli 2020 på Wayback Machine . Rocky Mountain J Math. Bind 28, nummer 4 (1998), 1251-1257.
↑ I mange tilfælde har tal fælles divisorer. For at få en primitiv firdobling af tal er det nok at reducere hvert af tallene med deres største fælles divisor . $x,y,z,w$

Litteratur

Hardy G. Tolv forelæsninger om Ramanujan. - M. : Institut for Computerforskning, 2002. - 336 s.
V. Serpinsky . §femten. Løsning af ligninger i rationelle tal // Om løsning af ligninger i heltal . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 s.
E. Rowland. Kendte familier af heltalsløsninger til $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ (engelsk) : journal. Arkiveret fra originalen den 27. september 2013.
Labkovskys løsning (opgave nr. 2)
Siziy S. V. 20. Sammenligninger af enhver grad modulo a prime // Forelæsninger om talteori: Lærebog for matematiske specialiteter . - Jekaterinburg: Ural State University opkaldt efter. A. M. Gorky , 1999.
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .