Sjæl (differentiel geometri)

Sjælen i en Riemann-manifold er en kompakt , fuldstændig konveks , totalt geodætisk undermanifold , som er dens deformations-tilbagetrækning .

Det antages normalt, at det  er en komplet forbundet Riemannmanifold med sektionskrumning K  ≥ 0.

Eksempler

• Enhver kompakt manifold er dens sjæl.

• Det euklidiske rum R n har ethvert punkt som sin sjæl.

• Paraboloiden har M = {( x , y , z ): z = x 2 + y 2 }, oprindelsen (0,0,0) er sjælen af ​​M . Desuden er ikke noget punkt x , der tilhører M , dets sjæl, da der kan være geodætiske sløjfer, der starter ved punktet x .

• For en uendelig cylinder M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} enhver "vandret" cirkel {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1} med fast z er sjæl af M.

Historie

Begrebet sjæl blev introduceret af Cheeger og Gromol i 1972 [1] i en artikel, hvor de især beviste sjælssætningen . Sætningen generaliserede en tidligere sætning af Gromol og Meyer [2] . I samme papir formulerede Cheeger og Gromol sjælehypotesen . Et kort bevis på denne formodning blev givet af Grigory Perelman [3] i 1994 .

Egenskaber

Nedenfor antager vi, at det  er en komplet forbundet Riemann-manifold med sektionskrumning K  ≥ 0.

• Sjælesætningen siger: Hver ( M ,  g ) har en sjæl S. Desuden er manifolden M diffeomorf i forhold til det normale bundt over S.
• Sjælen er generelt ikke entydigt defineret af mangfoldigheden ( M ,  g ), men alle to sjæle ( M ,  g ) er isometriske . Sidstnævnte blev bevist af Sharafutdinov i 1979 [4] ved at konstruere den såkaldte Sharafutdinov-tilbagetrækning ; dette er en 1-Lipschitz deformation tilbagetrækning .

• Sharafutdinov-tilbagetrækningen er en riemannsk nedsænkning . Især hvis den har mindst ét ​​punkt med strengt positiv sektionskrumning, så er dens sjæl et punkt, og selve manifolden er homøomorf til det euklidiske rum.

Relaterede åbne spørgsmål

• Den dobbelte sjælsformodning siger [5] at enhver kompakt manifold med ikke-negativ tværsnitskrumning kan dækkes af to skivebundter.

Noter

1. ↑ Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), Om strukturen af ​​komplette mangfoldigheder af ikke-negativ krumning , Annals of Mathematics. Anden serie T. 96: 413-443, MR : 0309010 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970819 
2. ↑ Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), Om fuldstændige åbne manifolds af positiv krumning , Annals of Mathematics. Anden serie T. 90: 75-90, MR : 0247590 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970682 
3. ↑ Perelman, Grigori (1994), Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll , Journal of Differential Geometry bind 40(1): 209-212, MR : 1285534 , ISSN 0022-040X , < presse http://www.intl. .com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf > . Hentet 23. juli 2011. Arkiveret 23. juli 2011 på Wayback Machine 
4. ↑ Sharafutdinov, VA (1979), Om konvekse sæt i en mangfoldighed af ikke-negativ krumning , Mat. noter T. 26 (1): 129-136 
5. ↑ K. Grove, Geometry of and via symmetries