Differentialligninger for Lagrange og Clairaut

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; checks kræver 3 redigeringer .

En differentialligning er en relation, der forbinder en variabel , den ønskede funktion og dens afledte , det vil sige en relation af formen: $x$ $y$

$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

Differentialligninger finder den bredeste anvendelse inden for forskellige områder af videnskab og teknologi. De opstår ved løsning af problemer, når der etableres en sammenhæng mellem en funktion af en variabel og dens afledte. $y$ $x$

Lagranges differentialligning

Overvej en førsteordens differentialligning af følgende form

$y=x\varphi (y')+\psi (y')$

hvor og er kendte funktioner af , og vi antager at funktionen er forskellig fra . Denne type ligning kaldes Lagrange-ligningen. Den er lineær med hensyn til variablerne og . $\varphi$ $\psi$ $y'$ $\varphi (y')$ $y'$ $x$ $y$

En sådan differentialligning skal løses, som man siger, ved at indføre en hjælpeparameter. Lad os finde dens generelle løsning ved at introducere parameteren . Så kan ligningen skrives som: $y'=p$

$y=x\varphi (p)+\psi (p)$ $\longvenstrehøjrepil$ $(en)$

Læg mærke til, at vi differentierer begge sider af denne ligning med hensyn til : $p={dy\over dx}$ $x$

${\displaystyle p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Lad os forvandle det til

${\displaystyle p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$ $\longvenstrehøjrepil$ $(2)$

Selv nu kan der findes nogle løsninger fra denne ligning, hvis du bemærker, at den bliver til en ægte lighed for enhver konstant værdi af , der opfylder betingelsen . For enhver konstant værdi af , forsvinder den afledte på samme måde, og så kan begge sider af ligningen sidestilles med nul. ${\displaystyle p=p_{0))$ $p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ $s$ ${\displaystyle {dp \over dx))$

Løsningen svarende til hver værdi af , Det vil sige , er en lineær funktion af , Da den afledte af , er konstant kun for lineære funktioner . For at finde denne funktion er det nok at erstatte værdien i ligheden , dvs ${\displaystyle p=p_{0))$ ${dy \over dx}=p_{0}$ $x$ ${\displaystyle {dy \over dx))$ $(en)$ ${\displaystyle p=p_{0))$

$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Hvis det viser sig, at denne løsning ikke kan opnås fra den generelle for enhver værdi af en vilkårlig konstant, vil det være en speciel løsning .

Lad os nu finde en generel løsning. For at gøre dette skriver vi ligningen i formen $(2)$

${\displaystyle {dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)))$

og vi vil overveje , som en funktion af . Så er den resulterende ligning ikke andet end en lineær differentialligning med hensyn til funktionen af . At løse det, finder vi $x$ $s$ $x$ $s$

$x=\omega (p,C)$ $\longvenstrehøjrepil$ $(3)$

Fjern parameteren fra ligningerne og find ligningens generelle integral i formen $s$ $(en)$ $(3)$ $(en)$

$\Phi (x,y,C)=0$ .

Clairauts differentialligning

Overvej en differentialligning af følgende form

$y=xy'+\psi (y')$ $\longvenstrehøjrepil$ $(en)$

En sådan ligning kaldes Clairaut-ligningen.

Det er let at se, at Clairaut-ligningen er et specialtilfælde af Lagrange-ligningen, når . Den integreres på samme måde ved at indføre en hjælpeparameter. $\varphi (y')=y'$

Lad . Derefter $y'={dy \over dx}=p$

$y=xp+\psi (p)$ $\longvenstrehøjrepil$ $(2)$

Vi differentierer denne ligning med hensyn til , på samme måde som vi gjorde med Lagrange-ligningen, og bemærker , at vi skriver $x$ $p={dy\over dx}$

${\displaystyle p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx))$

Lad os forvandle det til

$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$

Ved at sidestille hver faktor med nul, får vi

${dp \over dx}=0$ $\longvenstrehøjrepil$ $(3)$

$[x+\psi '(p)]=0$ $\longvenstrehøjrepil$ $(fire)$

Ved at integrere ligningen får vi . Erstat værdien i ligningen og find dens fælles integral $(3)$ $p=C=const$ $s$ $(2)$

$y=xC+\psi (C)$ $\longvenstrehøjrepil$ $(5)$

Geometrisk er dette integral en familie af lige linjer . Hvis vi finder ud fra ligningen som en funktion af , så indsætter vi den i ligningen , så får vi funktionen $(fire)$ $s$ $x$ $(2)$

$y=xp(x)+\psi[p(x)]$ $\longvenstrehøjrepil$ $(6)$

Hvilket, som det er nemt at vise, er løsningen af ligningen . Faktisk finder vi i kraft af lighed $(en)$ $(fire)$

${\displaystyle {dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Men siden da . Derfor, ved at erstatte funktionen i ligningen , opnår vi identiteten $[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ ${dy \over dx}=p$ $(6)$ $(en)$

$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$ .

Løsningen opnås ikke fra det generelle integral for nogen værdi af en vilkårlig konstant . Denne løsning er en speciel løsning, som opnås på grund af elimineringen af parameteren fra ligningerne $(6)$ $(5)$ $C$ $s$

$y=xp+\psi (p)$ og $x+\psi '(p)=0$

eller, hvad der ikke betyder noget, en undtagelse fra ligningerne $C$

$y=xC+\psi (C)$ og $x+\psi '(C)=0$

Derfor bestemmer en speciel løsning af Clairaut-ligningen hylsteret af linjefamilien givet af det generelle integral . $(5)$

Anvendelser af Clairaut-ligningen.

Geometriske problemer bringes til Clairaut-ligningen, hvor det er påkrævet at bestemme kurven i henhold til en given egenskab for dens tangent , og denne egenskab skal referere til selve tangenten og ikke til tangentpunktet. Faktisk har tangentligningen formen

$Yy=y'(Xx)$

eller

$Y=y'X+(y-xy')$

Enhver egenskab ved en tangent udtrykkes ved forholdet mellem og : $(y-xy')$ $y'$

$\Phi (y-xy',y')=0$

Løser vi det med hensyn til , når vi frem til en formligning $(y-xy')$

$y=xy'+\psi (y')$ , altså til intet andet end Clairaut-ligningen.

Litteratur

V. I. Smirnov "Course of Higher Mathematics", bind 2, Nauka Publishing House, Moskva 1974.

N. S. Piskunov "Differential- og integralregning", bind to, Nauka forlag, Moskva 1985

K. N. Lungu, V. P. Norin et al. "Samling af problemer i højere matematik", andet år, Moskva: Iris-press, 2007

Se også