Diskret rum

Et diskret rum i generel topologi og relaterede områder af matematik er et rum, hvor alle punkter er isoleret fra hinanden i en eller anden forstand.

Definitioner

Lad være et sæt , og vær familien af alle dets undergrupper . Så er en topologi på dette sæt, kaldet den diskrete topologi, og parret kaldes et diskret topologisk rum . $x$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $(X,{\mathcal {T))$
Lad være et metrisk rum , hvor metrikken er defineret som følger: $(X,\rho)$ $\rho$

\rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.

Så kaldes det en diskret metrisk , og hele rummet kaldes et diskret metrisk rum . $\rho$

Topologien induceret af en diskret metrik er diskret. Det omvendte er falsk. En metrik, der ikke er diskret, kan generere en diskret topologi.

Lad hvor , og vær en diskret metrisk på . Så er et diskret metrisk og følgelig topologisk rum. $X=\{1,\ldots ,n\},$ $n\in \mathbb {N}$ $\rho$ $x$ $(X,\rho)$
Lad denne metrik være ikke-diskret, men den genererer en diskret topologi . $X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\rho (x,y)=|xy|.$

Et topologisk rum er diskret, hvis og kun hvis hver et-punkts delmængde af det er åbent .
Alle et-punkts undersæt af et diskret topologisk rum danner grundlaget for en diskret topologi.
Et diskret topologisk rum er kompakt , hvis og kun hvis det er endeligt .
Det diskrete metriske rum er afgrænset .
Alle to diskrete topologiske rum, der har samme kardinalitet , er homøomorfe .
Enhver funktion defineret på et diskret topologisk rum er kontinuert .
En diskret delmængde af et euklidisk rum kan højst tælles . Det modsatte er generelt ikke sandt.