Dirac potentiel kam

Dirac potential kam , i kvantemekanik , et periodisk potentiale dannet af en sekvens af Dirac δ-funktioner .

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),

hvor a er intervallet mellem nabosingularpunkter. Dette er den enkleste model, hvori spektrets båndstruktur opstår.

Schrödingers ligning med et potentiale i form af en Dirac potentialkam

Schrödinger-ligningen tager formen

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{ n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).

Ved at introducere notationen får vi: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty}\delta (x+na)\right) \psi(x)=0.

I intervallet har ligningen formen: $0<x<a$

\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0

og dens generelle løsning er

\Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.

Da potentialet er periodisk , så har løsningen i intervallet formen $a<x<2a$

\Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(xa)}+C_{2}e^{-ik(xa)}\right).

Bølgefunktions kontinuitetstilstand

\Psi (a+0)=\Psi (a-0).

Ved at integrere Schrödinger-ligningen i nærheden af punktet får vi matchningsbetingelsen for de afledte: $x=a$

\Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).

Under disse forhold har vi:

e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},

ike^{iKa}(AB)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).

Denne ligning har ikke-trivielle løsninger til

\cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k))\sin ka.

Det følger af dette, at zonerne med tilladte energiværdier bestemmes af uligheden

|\cos ka+{\frac {\Omega }{k))\sin ka|\leqslant 1.

Tilsvarende energispektrum:

E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom