Graderet algebra

En graderet algebra er en algebra opdelt i en direkte sum af dens underrum på en sådan måde, at betingelsen er opfyldt . [1] [2] ${\tekststil A}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r))$ ${\displaystyle A_{r))$ ${\textstyle A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$

Definition

Lad A være en algebra over en ring k , G en halvgruppe .

En algebra A kaldes G - gradueret (synonym: G - karaktergivning er givet på A ), hvis A dekomponeres til en direkte sum af k -moduler over alle elementer g fra G , og multiplikation i algebraen stemmer overens med multiplikation i semigruppen: $A_{g}$

{\displaystyle A_{f}A_{g}\subset A_{fg))

Hvis et ikke-nul element a tilhører , så kaldes det homogent af grad g . $A_{g}$

Når G tages som den additive gruppe af heltal eller semigruppen af ikke-negative heltal, siges algebraen A simpelthen at være graderet.

Hvis vi tager ringen som A i definitionen ovenfor , så får vi definitionen af en graderet ring .

Konstruktioner med gradueringer

Hvis A er en G - graderet algebra, og a er en semigruppehomomorfi , så er A udstyret med en H- gradering efter reglen: $\psi :G\to H$

A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}

På enhver algebra A kan man indføre en triviel klassificering af enhver semigruppe G med identitet e , idet det antages, at det derfor ikke giver nogen mening at overveje sådanne "dårlige" klassificeringer. $A_{e}=A$

Over et felt kan enhver algebra A gradueres med gruppen G af tegn i den maksimale torus i dens algebraiske automorfigruppe: $\mathbb {C}$ $G=(T(\operatørnavn {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A\ mid \phi (a)=g(\phi )a$ for alle $\phi \in T(\operatørnavn {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Denne klassificering, i ovenstående forstand, er den "rigeste" af alle abelske klassificeringer af algebraen A , da gruppen af karakterer G på enhver G -graderet algebra A virker ved automorfismer efter samme formel.

Eksempler

Ring af polynomier i en eller flere variable.
Ring af kohomologi .
Algebraen af matricer af orden n bedømmes af gruppen $\mathbb {Z} _{n-1}.$
En semigruppealgebra er en G -graderet algebra. $K\left[G\right]$

Bedømt modul

Det tilsvarende koncept i modulteori er et gradueret modul , nemlig et venstremodul M over en graderet ring A , således at

{\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i))

{\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}

En gradueret modulmorfisme er en modulmorfisme, der bevarer karaktergivningen, det vil sige . $f:N\to M$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i))$

For et graderet modul M kan man definere ℓ -twist som et graderet modul defineret af reglen . (Se snoning af Serre-skive i algebraisk geometri.) $M(\ell )$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$

Lad M og N være bedømte moduler. Hvis er en morfisme af moduler, så siges f at have graden d hvis . Den ydre afledte af en differentialform i differentialgeometri er et eksempel på en morfisme af grad 1. $f:M\to N$ ${\displaystyle f(M_{n})\undersæt N_{n+d))$

Litteratur

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graderet ringteori. - Amsterdam: Nord-Holland, 1982. - ISBN 9780444864895 .

Noter

↑ Denne graderede algebra kaldes også -graderet. ${\textstyle \mathbb {Z} }$
↑ Matematisk encyklopædisk ordbog / Kap. udg. Yu. V. Prokhorov; Ed. koll.: S. I. Adyan, N. S. Bakhvalov, V. I. Bityutskov, A. P. Ershov, L. D. Kudryavtsev, A. L. Onishchik, A. P. Yushkevich. - M. : Sov. encyklopædi, 1988. - S. 161 . — 847 s. — 150.000 eksemplarer.