Homologisk sfære

En homologisfære er en n - dimensional manifold X med homologi som den for en n - dimensional kugle . Det er

H0 ( X , Z ) = Z = Hn ( X , Z ) ,

H i ( X , Z ) = {0} for alle andre i .

Eksempler

Poincaré kugle
Brieskorn-sfærerne Σ( p , q , r ), dvs. skæringspunktet mellem en lille 5-dimensionel kugle med løsningen af ligningen x p + y q + z r = 0 ved coprime p , q og r . De er homologe sfærer. Ydermere er Σ(1, 1, 1) homøomorf til standardsfæren og Σ(2, 3, 5) til Poincare-sfæren. Hvis den universelle dækning Σ( p , q , r ) er homøomorf til det euklidiske rum, $\mathbb {C} ^{3}$ $1/p+1/q+1/r\leq 1$

Den homologiske sfære er forbundet.
Den homologiske sfæres grundlæggende gruppe falder sammen med dens kommutator. $\Gamma$
Lad . En gruppe er en gruppe af en eller anden n - dimensionel homologisk sfære, hvis og kun hvis [1] : $n\geqslant 5$ $\Gamma$
1. $\Gamma$ selvfølgelig givet ;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
En gruppe er en gruppe af en eller anden 4 - dimensionel homologisk sfære if $\Gamma$
1. $\Gamma$ er givet af et lige antal generatorer og relationer, og
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Det er uvist, om det omvendte er sandt [1] .
En forbundet sum af to homologisfærer er en homologisfære.
Ifølge den generaliserede Poincaré-formodning er en simpelt forbundet homologisk sfære homøomorf til standardsfæren.

Rationelt homologiske sfærer defineres på en lignende måde, men ved hjælp af homologi med rationelle koefficienter.

↑ 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (okt., 1969), s. 67-72