Herons trekant

En heronisk trekant  er en trekant, hvis sider og areal er heltal [1] [2] . Heroniske trekanter er opkaldt efter den græske matematiker Heron . Udtrykket forstås nogle gange noget bredere og strækker sig til trekanter, der har rationelle sider og areal [3] .

Egenskaber

Alle retvinklede trekanter, hvis sider danner Pythagoras tripler , er heroniske, da deres sider er heltal per definition , og området er også heltal, da det er halvdelen af ​​produktet af benene, hvoraf den ene nødvendigvis har en lige længde.

Et eksempel på en heronisk trekant, der ikke har en ret vinkel, er en ligebenet trekant med siderne 5, 5 og 6, hvis areal er 12. Denne trekant opnås ved at forbinde to retvinklede trekanter med siderne 3, 4 og 5 langs en side af længde 4. Denne fremgangsmåde virker i det generelle tilfælde, som vist i figuren til højre. Tag en pythagoras tripel ( a , b , c ), hvor c  er den største side, så en anden tripel ( a , d , e ), hvor den største side er e , trekanter bygges efter de givne sidelængder og kombineres langs siden med længden a , får trekant med siderne c , e og b  +  d og areal

(den halve base gange højden).

Hvis a er lige, vil arealet være et heltal. Mindre indlysende er tilfældet, når a er ulige, men i dette tilfælde forbliver A heltal, da siderne b og d skal være lige tal, og derfor vil b + d også være lige.

Nogle heronske trekanter kan ikke opnås ved at kombinere retvinklede trekanter med heltalsider ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor. Så for eksempel kan en heronsk trekant med siderne 5, 29, 30 og areal 72 ikke opnås fra to pythagoræiske trekanter, da ingen af ​​dens højder er et heltal. Det er også umuligt at bygge en primitiv Pythagoras trekant ud fra to mindre Pythagoras trekanter [4] . Sådanne heroniske trekanter kaldes uopløselige [4] . Men hvis vi tillader pythagoræiske tripler med rationelle værdier, og nægter at være integrale, så eksisterer der altid en opdeling i to retvinklede trekanter med rationelle sider [5] , da alle højderne af den heronske trekant er rationelle tal (da højden er lig med to gange arealet divideret med grundtallet, og begge disse tal er heltal). Således kan den heroniske trekant med siderne 5, 29, 30 fås fra rationelle pythagoræiske trekanter med siderne 7/5, 24/5, 5 og 143/5, 24/5, 29. Bemærk, at rationelle pythagoræiske tripler simpelthen er versioner af heltal Pythagoras tripletter divideret med et heltal.

Andre egenskaber ved heronske trekanter kan findes i artiklen Integer Triangle#Heronian Triangles .

Præcis formel for heronske trekanter

Enhver heronsk trekant har sider, der er proportionale med værdierne [6]

Semiperimeter Firkant Indskrevet cirkelradius

for heltal m , n og k , hvor

.

Proportionalitetskoefficienten i det generelle tilfælde er et rationelt tal  , hvor     den resulterende heronske trekant fører til en primitiv og     strækker den til den nødvendige størrelse. Tager vi for eksempel m = 36, n = 4 og k = 3, får vi en trekant med siderne a = 5220, b = 900 og c = 5400, hvilket svarer til den heronske trekant 5, 29, 30 og proportionaliteten faktor har tælleren p = 1 og nævneren q = 180.

Se også heronske trekanter med den ene vinkel to gange den anden , heronske trekanter med sider i aritmetisk progression og ligebenede heronske trekanter .

Eksempler

Liste over primitive heltal heroniske trekanter, sorteret efter areal og, hvis arealer er lige store, efter omkreds . "Primitiv" betyder, at den største fælles divisor af de tre sidelængder er 1.

Firkant Omkreds Side længder
6 12 5 fire 3
12 16 6 5 5
12 atten otte 5 5
24 32 femten 13 fire
tredive tredive 13 12 5
36 36 17 ti 9
36 54 26 25 3
42 42 tyve femten 7
60 36 13 13 ti
60 40 17 femten otte
60 halvtreds 24 13 13
60 60 29 25 6
66 44 tyve 13 elleve
72 64 tredive 29 5
84 42 femten fjorten 13
84 48 21 17 ti
84 56 25 24 7
84 72 35 29 otte
90 54 25 17 12
90 108 53 51 fire
114 76 37 tyve 19
120 halvtreds 17 17 16
120 64 tredive 17 17
120 80 39 25 16
126 54 21 tyve 13
126 84 41 28 femten
126 108 52 51 5
132 66 tredive 25 elleve
156 78 37 26 femten
156 104 51 40 13
168 64 25 25 fjorten
168 84 39 35 ti
168 98 48 25 25
180 80 37 tredive 13
180 90 41 40 9
198 132 65 55 12
204 68 26 25 17
210 70 29 21 tyve
210 70 28 25 17
210 84 39 28 17
210 84 37 35 12
210 140 68 65 7
210 300 149 148 3
216 162 80 73 9
234 108 52 41 femten
240 90 40 37 13
252 84 35 34 femten
252 98 45 40 13
252 144 70 65 9
264 96 44 37 femten
264 132 65 34 33
270 108 52 29 27
288 162 80 65 17
300 150 74 51 25
300 250 123 122 5
306 108 51 37 tyve
330 100 44 39 17
330 110 52 33 25
330 132 61 60 elleve
330 220 109 100 elleve
336 98 41 40 17
336 112 53 35 24
336 128 61 52 femten
336 392 195 193 fire
360 90 36 29 25
360 100 41 41 atten
360 162 80 41 41
390 156 75 68 13
396 176 87 55 34
396 198 97 90 elleve
396 242 120 109 13

Sammenlignelige trekanter

En figur kaldes sammenlignelig hvis arealet er lig med omkredsen. Der er nøjagtig fem sammenlignelige heronske trekanter - (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) og (9,10,17) [7] [otte]

Næsten ligesidede heroniske trekanter

Fordi arealet af en regulær trekant med rationelle sider er et irrationelt tal , kan ingen ligesidet trekant være heronisk. Der er dog en sekvens af heronske trekanter, der er "næsten regelmæssige", fordi deres sider har formen n  − 1, n , n  + 1. De første par eksempler på disse næsten ligesidede trekanter er angivet i tabellen nedenfor (sekvens A003500 i OEIS ).

Side længde Firkant Indskrevet radius
n - 1 n n + 1
3 fire 5 6 en
13 fjorten femten 84 fire
51 52 53 1170 femten
193 194 195 16296 56
723 724 725 226974 209
2701 2702 2703 3161340 780
10083 10084 10085 44031786 2911
37633 37634 37635 613283664 10864

Den næste værdi for n kan findes ved at gange den foregående værdi med 4 og derefter trække den værdi, der går forud (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, osv.). På denne måde

,

hvor t er rækkenummeret i tabellen. Denne sekvens er Lucas-sekvensen . Du kan også få denne rækkefølge ved formel for alle n . Hvis vi sætter A = areal og y = radius af den indskrevne cirkel, så

,

hvor { n , y } er løsninger af ligningen n 2  − 12 y 2  = 4. En lille substitution n = 2x giver den velkendte Pell-ligning x 2  − 3 y 2 = 1, hvis løsninger kan fås fra den fortsatte  brøkudvidelse af √3 [9]

Variablen n har formen , hvor k er lig med 7, 97, 1351, 18817, …. Tallene i denne rækkefølge har den egenskab, at k på hinanden følgende heltal har en heltal standardafvigelse . [ti]

Se også

Noter

  1. Carlson, 1970 , s. 499-506.
  2. Beauregard, Suryanarayan, 1998 , s. 13-17.
  3. Eric W. Weisstein. Heronisk trekant.
  4. 12 Yiu , 2008 , s. 17.
  5. Sierpinski, 2003 .
  6. Carmichael, 1959 , s. 11-13.
  7. Dickson, 2005 , s. 199.
  8. Markowitz, 1981 , s. 222-3.
  9. Richardson, 2007 .
  10. Online Encyclopedia of Integer Sequences, A011943 .

Links