En heronisk trekant er en trekant, hvis sider og areal er heltal [1] [2] . Heroniske trekanter er opkaldt efter den græske matematiker Heron . Udtrykket forstås nogle gange noget bredere og strækker sig til trekanter, der har rationelle sider og areal [3] .
Alle retvinklede trekanter, hvis sider danner Pythagoras tripler , er heroniske, da deres sider er heltal per definition , og området er også heltal, da det er halvdelen af produktet af benene, hvoraf den ene nødvendigvis har en lige længde.
Et eksempel på en heronisk trekant, der ikke har en ret vinkel, er en ligebenet trekant med siderne 5, 5 og 6, hvis areal er 12. Denne trekant opnås ved at forbinde to retvinklede trekanter med siderne 3, 4 og 5 langs en side af længde 4. Denne fremgangsmåde virker i det generelle tilfælde, som vist i figuren til højre. Tag en pythagoras tripel ( a , b , c ), hvor c er den største side, så en anden tripel ( a , d , e ), hvor den største side er e , trekanter bygges efter de givne sidelængder og kombineres langs siden med længden a , får trekant med siderne c , e og b + d og areal
(den halve base gange højden).Hvis a er lige, vil arealet være et heltal. Mindre indlysende er tilfældet, når a er ulige, men i dette tilfælde forbliver A heltal, da siderne b og d skal være lige tal, og derfor vil b + d også være lige.
Nogle heronske trekanter kan ikke opnås ved at kombinere retvinklede trekanter med heltalsider ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor. Så for eksempel kan en heronsk trekant med siderne 5, 29, 30 og areal 72 ikke opnås fra to pythagoræiske trekanter, da ingen af dens højder er et heltal. Det er også umuligt at bygge en primitiv Pythagoras trekant ud fra to mindre Pythagoras trekanter [4] . Sådanne heroniske trekanter kaldes uopløselige [4] . Men hvis vi tillader pythagoræiske tripler med rationelle værdier, og nægter at være integrale, så eksisterer der altid en opdeling i to retvinklede trekanter med rationelle sider [5] , da alle højderne af den heronske trekant er rationelle tal (da højden er lig med to gange arealet divideret med grundtallet, og begge disse tal er heltal). Således kan den heroniske trekant med siderne 5, 29, 30 fås fra rationelle pythagoræiske trekanter med siderne 7/5, 24/5, 5 og 143/5, 24/5, 29. Bemærk, at rationelle pythagoræiske tripler simpelthen er versioner af heltal Pythagoras tripletter divideret med et heltal.
Andre egenskaber ved heronske trekanter kan findes i artiklen Integer Triangle#Heronian Triangles .
Enhver heronsk trekant har sider, der er proportionale med værdierne [6]
Semiperimeter Firkant Indskrevet cirkelradiusfor heltal m , n og k , hvor
.Proportionalitetskoefficienten i det generelle tilfælde er et rationelt tal , hvor den resulterende heronske trekant fører til en primitiv og strækker den til den nødvendige størrelse. Tager vi for eksempel m = 36, n = 4 og k = 3, får vi en trekant med siderne a = 5220, b = 900 og c = 5400, hvilket svarer til den heronske trekant 5, 29, 30 og proportionaliteten faktor har tælleren p = 1 og nævneren q = 180.
Se også heronske trekanter med den ene vinkel to gange den anden , heronske trekanter med sider i aritmetisk progression og ligebenede heronske trekanter .
Liste over primitive heltal heroniske trekanter, sorteret efter areal og, hvis arealer er lige store, efter omkreds . "Primitiv" betyder, at den største fælles divisor af de tre sidelængder er 1.
Firkant | Omkreds | Side længder | |||
---|---|---|---|---|---|
6 | 12 | 5 | fire | 3 | |
12 | 16 | 6 | 5 | 5 | |
12 | atten | otte | 5 | 5 | |
24 | 32 | femten | 13 | fire | |
tredive | tredive | 13 | 12 | 5 | |
36 | 36 | 17 | ti | 9 | |
36 | 54 | 26 | 25 | 3 | |
42 | 42 | tyve | femten | 7 | |
60 | 36 | 13 | 13 | ti | |
60 | 40 | 17 | femten | otte | |
60 | halvtreds | 24 | 13 | 13 | |
60 | 60 | 29 | 25 | 6 | |
66 | 44 | tyve | 13 | elleve | |
72 | 64 | tredive | 29 | 5 | |
84 | 42 | femten | fjorten | 13 | |
84 | 48 | 21 | 17 | ti | |
84 | 56 | 25 | 24 | 7 | |
84 | 72 | 35 | 29 | otte | |
90 | 54 | 25 | 17 | 12 | |
90 | 108 | 53 | 51 | fire | |
114 | 76 | 37 | tyve | 19 | |
120 | halvtreds | 17 | 17 | 16 | |
120 | 64 | tredive | 17 | 17 | |
120 | 80 | 39 | 25 | 16 | |
126 | 54 | 21 | tyve | 13 | |
126 | 84 | 41 | 28 | femten | |
126 | 108 | 52 | 51 | 5 | |
132 | 66 | tredive | 25 | elleve | |
156 | 78 | 37 | 26 | femten | |
156 | 104 | 51 | 40 | 13 | |
168 | 64 | 25 | 25 | fjorten | |
168 | 84 | 39 | 35 | ti | |
168 | 98 | 48 | 25 | 25 | |
180 | 80 | 37 | tredive | 13 | |
180 | 90 | 41 | 40 | 9 | |
198 | 132 | 65 | 55 | 12 | |
204 | 68 | 26 | 25 | 17 | |
210 | 70 | 29 | 21 | tyve | |
210 | 70 | 28 | 25 | 17 | |
210 | 84 | 39 | 28 | 17 | |
210 | 84 | 37 | 35 | 12 | |
210 | 140 | 68 | 65 | 7 | |
210 | 300 | 149 | 148 | 3 | |
216 | 162 | 80 | 73 | 9 | |
234 | 108 | 52 | 41 | femten | |
240 | 90 | 40 | 37 | 13 | |
252 | 84 | 35 | 34 | femten | |
252 | 98 | 45 | 40 | 13 | |
252 | 144 | 70 | 65 | 9 | |
264 | 96 | 44 | 37 | femten | |
264 | 132 | 65 | 34 | 33 | |
270 | 108 | 52 | 29 | 27 | |
288 | 162 | 80 | 65 | 17 | |
300 | 150 | 74 | 51 | 25 | |
300 | 250 | 123 | 122 | 5 | |
306 | 108 | 51 | 37 | tyve | |
330 | 100 | 44 | 39 | 17 | |
330 | 110 | 52 | 33 | 25 | |
330 | 132 | 61 | 60 | elleve | |
330 | 220 | 109 | 100 | elleve | |
336 | 98 | 41 | 40 | 17 | |
336 | 112 | 53 | 35 | 24 | |
336 | 128 | 61 | 52 | femten | |
336 | 392 | 195 | 193 | fire | |
360 | 90 | 36 | 29 | 25 | |
360 | 100 | 41 | 41 | atten | |
360 | 162 | 80 | 41 | 41 | |
390 | 156 | 75 | 68 | 13 | |
396 | 176 | 87 | 55 | 34 | |
396 | 198 | 97 | 90 | elleve | |
396 | 242 | 120 | 109 | 13 |
En figur kaldes sammenlignelig hvis arealet er lig med omkredsen. Der er nøjagtig fem sammenlignelige heronske trekanter - (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) og (9,10,17) [7] [otte]
Fordi arealet af en regulær trekant med rationelle sider er et irrationelt tal , kan ingen ligesidet trekant være heronisk. Der er dog en sekvens af heronske trekanter, der er "næsten regelmæssige", fordi deres sider har formen n − 1, n , n + 1. De første par eksempler på disse næsten ligesidede trekanter er angivet i tabellen nedenfor (sekvens A003500 i OEIS ).
Side længde | Firkant | Indskrevet radius | ||
---|---|---|---|---|
n - 1 | n | n + 1 | ||
3 | fire | 5 | 6 | en |
13 | fjorten | femten | 84 | fire |
51 | 52 | 53 | 1170 | femten |
193 | 194 | 195 | 16296 | 56 |
723 | 724 | 725 | 226974 | 209 |
2701 | 2702 | 2703 | 3161340 | 780 |
10083 | 10084 | 10085 | 44031786 | 2911 |
37633 | 37634 | 37635 | 613283664 | 10864 |
Den næste værdi for n kan findes ved at gange den foregående værdi med 4 og derefter trække den værdi, der går forud (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, osv.). På denne måde
,hvor t er rækkenummeret i tabellen. Denne sekvens er Lucas-sekvensen . Du kan også få denne rækkefølge ved formel for alle n . Hvis vi sætter A = areal og y = radius af den indskrevne cirkel, så
,hvor { n , y } er løsninger af ligningen n 2 − 12 y 2 = 4. En lille substitution n = 2x giver den velkendte Pell-ligning x 2 − 3 y 2 = 1, hvis løsninger kan fås fra den fortsatte brøkudvidelse af √3 [9]
Variablen n har formen , hvor k er lig med 7, 97, 1351, 18817, …. Tallene i denne rækkefølge har den egenskab, at k på hinanden følgende heltal har en heltal standardafvigelse . [ti]