Gaussisk funktion

Gaussisk funktion ( Gaussisk , Gaussisk , Gaussisk funktion ) er en reel funktion beskrevet af følgende formel:

g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}}

hvor parametre er vilkårlige reelle tal . Introduceret af Gauss i 1809 som funktion af tætheden af normalfordelingen , og er af den største betydning i denne kapacitet, i dette tilfælde er parametrene udtrykt i form af standardafvigelse og matematisk forventning : $a,b,c$ $\sigma$ $\mu$

a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))

... _ _

b=\mu

c=\sigma

Grafen af den Gaussiske funktion ved og er en klokkeformet kurve, parameteren bestemmer den maksimale højde af grafen - toppen af klokken, er ansvarlig for forskydningen af toppen fra nul (ved - toppen er ved nul), og påvirker klokkens bredde (rækkevidde). $a>0$ $c\neq 0$ $-en$ $b$ $b=0$ $c$

Der er multidimensionelle generaliseringer af funktionen . Ud over anvendelser i sandsynlighedsteori , statistik og andre talrige anvendelser som funktion af tætheden af normalfordelingen, har Gaussian en uafhængig værdi i matematisk analyse , matematisk fysik , signalbehandlingsteori.

Egenskaber

Egenskaberne af den Gaussiske funktion er relateret til dens konstruktion fra en eksponentiel funktion og en konkav kvadratisk funktion , logaritmen af den Gaussiske er en konkav kvadratisk funktion.

Parameteren er relateret til kortklokkens halve bredde som følger: $c$

w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c

Den Gaussiske funktion kan udtrykkes i form af halvbredden af grafens klokke som følger: $w$

g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(xb)^{2}}{w^{2}}}}

Bøjninger er to punkter, hvor . $g(x)$ $x=b\pm c$

Den Gaussiske funktion er analytisk , har en tendens til nul i grænsen til begge uendeligheder :

\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0

Ved at være sammensat af en eksponentiel funktion og aritmetiske operationer, er Gaussian elementær , men dens antiafledte er ikke elementær; Gaussisk funktionsintegral:

\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

er (op til en konstant faktor) fejlfunktionen , som er en speciel funktion . I dette tilfælde er integralet langs hele tallinjen (på grund af eksponentialfunktionens egenskaber) en konstant [1] :

\int _{-\infty }^{\infty}ae^{-{(xb)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\ pi}}

Dette integral bliver kun til enhed under betingelsen:

a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi ))))

og dette giver præcis tilfældet, når Gauss er en funktion af tætheden af normalfordelingen af en stokastisk variabel med middelværdi og varians . $\mu=b$ $\sigma ^{2}=c^{2}$

Produktet af Gausser er en Gaussisk funktion; foldning af to Gaussiske funktioner giver en Gaussisk funktion, desuden er foldningsparameteren udtrykt ud fra de tilsvarende parametre for Gausserne inkluderet i den: . Produktet af to normalfordelingstæthedsfunktioner, der er en gaussisk funktion, giver generelt ikke en normalfordelingstæthedsfunktion. $c$ $c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}$

Multidimensionelle generaliseringer

Et eksempel på en todimensionel version af en Gaussisk funktion:

{\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2)){2\sigma _{x}^{ 2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)))

her indstiller klokkens højde, bestemmer forskydningen af klokkens top fra nul abscissen og er ansvarlig for klokkens omfang. Volumen under en sådan overflade er: $EN$ $(x_0, y_0)$ $(\sigma _{x},\sigma _{y})$

V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}

I sin mest generelle form er en todimensional Gaussian defineret som følger:

g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0} )+c(y-y_{0})^{2}\right)\right)

hvor er matrixen:

\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]

er positivt defineret .

Variant af den Gaussiske funktion i det dimensionelle euklidiske rum : $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax)

hvor er en kolonnevektor af komponenter, er en positiv-bestemt matrix af størrelse , og er transponeringsoperationen på . $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ $n$ $EN$ $n\ gange n$ $x^{T}$ $x$

Integralet af en sådan gaussisk funktion over hele rummet : $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A }}}

Det er muligt at definere en -dimensionel version med et skift: $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)

hvor er skiftvektoren og matricen er symmetrisk ( ) og positiv bestemt. $s=(s_{1},\dots ,s_{n})$ $EN$ $A^{T}=A$

Super Gaussisk funktion

Den supergaussiske funktion er en generalisering af den Gaussiske funktion, hvor eksponentargumentet hæves til: $P$

sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\ højre)^{P}\right)

som er blevet brugt til at beskrive egenskaberne af gaussiske bjælker [2] . I det todimensionelle tilfælde kan den super-gaussiske funktion betragtes med forskellige beføjelser i argumenterne og [3] : $P_{x}$ ${\displaystyle P_{y))$

sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}} }\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^ {P_{y}}\right)

Ansøgninger

Hovedanvendelsen af gaussiske funktioner og multivariate generaliseringer er rollen som sandsynlighedstæthedsfunktionen af normalfordelingen og den multivariate normalfordeling . Funktionen har en selvstændig betydning for en række ligninger af matematisk fysik , især Gaussians er Greens funktioner for ligningen af homogen og isotrop diffusion (henholdsvis for varmeligningen ), og Weierstrass-transformationen er en operation af foldning af en generaliseret funktion , der udtrykker ligningens begyndelsesbetingelser, med Gaussisk funktion. Gauss er også bølgefunktionen af grundtilstanden for en kvanteharmonisk oscillator .

I beregningskemi bruges de såkaldte Gaussiske orbitaler til at bestemme molekylære orbitaler , som er lineære kombinationer af Gaussiske funktioner.

Gaussiske funktioner og deres diskrete modstykker (såsom den diskrete Gaussiske kerne ) bruges i digital signalbehandling , billedbehandling , lydsyntese [4] ; især er Gauss-filteret og Gaussisk sløring defineret i termer af Gausser . Gaussiske funktioner deltager også i definitionen af visse typer kunstige neurale netværk .

Noter

↑ Campos, 2014 , s. 1-2.
↑ A. Forælder, M. Morin, P. Lavigne. Udbredelse af super-Gaussiske feltfordelinger // Optisk og kvanteelektronik. - 1992. - Nr. 9 . - P. S1071-S1079.
↑ GLAD optisk software-kommandomanual, Indtastning på GAUSSIAN-kommando . Anvendt optikforskning (15. december 2016). Arkiveret fra originalen den 10. juni 2017. (ubestemt)
↑ C. R. Popa. Analog ikke-lineær funktion Synthesizer-strukturer i strømtilstand . - Springer Schweiz, 2013. - S. 59. - 198 s. - ISBN 983-3-319-01035-9.

Litteratur

LMBC Campos. 1.1. Evaluering af integraler af Gaussiske funktioner // Generaliseret regning med anvendelser på stof og kræfter. - Boca Raton: CRC Press, 2014. - 823 s. — ISBN 978-1-4200-7115-3 .