Hamiltonsk mekanik

Hamiltonsk mekanik er en af formuleringerne af klassisk mekanik . Foreslået i 1833 af William Hamilton . Det stammer fra Lagrangiansk mekanik , en anden formulering af klassisk mekanik introduceret af Lagrange i 1788 . Hamiltonsk mekanik kan formuleres uden at bruge lagrangiansk mekanik ved hjælp af symplektiske manifolds og Poisson manifolds [1] .

På trods af den formelle ækvivalens mellem Lagrangiansk og Hamiltoniansk mekanik, spillede sidstnævnte, ud over de nyttige tekniske tilføjelser, den introducerede, en væsentlig rolle for en dybere forståelse af både den matematiske struktur af klassisk mekanik og dens fysiske betydning, herunder forbindelsen med kvantemekanik (Hamilton ønskede oprindeligt for at formulere klassisk mekanik som en kortbølgegrænse for en eller anden bølgeteori, som næsten fuldstændig svarer til den moderne opfattelse).

Der er et synspunkt om, at Hamiltons formalisme generelt er mere fundamental og organisk, herunder og især for kvantemekanik ( Dirac ), selvom dette synspunkt ikke er blevet generelt accepteret, hovedsageligt, tilsyneladende, på grund af det faktum, at en væsentlig del af sådanne fortolkninger mister eksplicit (kun eksplicit) Lorentz-kovarians, og også fordi dette synspunkt ikke gav en sådan praktisk vej ud, der ville overbevise alle om dets betydning. Det skal dog bemærkes, at det heuristisk set nok ikke var det sidste blandt de motiver, der førte til opdagelsen af Dirac-ligningen , en af kvanteteoriens mest fundamentale ligninger.

Reformulering af lagrangiansk mekanik

I Lagrangian mekanik , er et mekanisk system karakteriseret ved en Lagrangian : - en funktion af generaliserede koordinater og tilsvarende hastigheder , og muligvis tid . I Hamiltonian mekanik introduceres begrebet generaliseret momenta , som er konjugeret til generaliserede koordinater og defineres i form af Lagrangian som følger: $L(q,\;{\prik {q)],\;t)$ $q$ ${\dot {q}}$ $t$

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))

I kartesiske koordinater er generaliserede momenta fysiske lineære momenta . I polære koordinater er det generaliserede momentum svarende til vinkelhastigheden det fysiske momentum . For et vilkårligt valg af generaliserede koordinater er det vanskeligt at opnå en intuitiv fortolkning af impulserne konjugeret til disse koordinater eller at gætte deres udtryk uden at bruge ovenstående formel direkte.

Euler-Lagrange vektorligningen antager derefter formen

{\dot {p}}={\frac {\partial L}{\partial q}}

Især heraf følger det, at hvis en eller anden koordinat viste sig at være cyklisk , det vil sige, hvis Lagrange-funktionen ikke afhænger af den, men kun afhænger af dens tidsafledte, så for momentum konjugeret til den , dvs. det er bevægelsens integral (bevaret i tid), som i nogen grad tydeliggør betydningen af de generaliserede impulser. ${\dot {p}}=0$

I denne formulering, som afhænger af valget af koordinatsystemet, er det ikke så indlysende, at de forskellige generaliserede koordinater i virkeligheden ikke er andet end forskellige koordinatiseringer af den samme symplektiske manifold .

Ved hjælp af Legendre-transformationen af Lagrangian bestemmes Hamilton-funktionen, Hamiltonian:

H\venstre(q,\;p,\;t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\dot {q }},\;t)

Hvis transformationsligningerne, der definerer de generaliserede koordinater, ikke afhænger af , kan det vises, at det er lig med den samlede energi: $t$ $H$

E=T+V

Hamiltonianerens samlede differential kan skrives som:

dH =\sum_i\venstre[\dot{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i-\frac{\partial L}{ \partial\dot{q}_i}\,d\dot{q}_i\right]-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)\,dt=\sum_i\left[\ prik{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\dot{p}_i\,dq_i-p_i\,d\dot{q}_i\right]-\frac{\partial L }{\partial t}\,dt =

=\sum_i\venstre[\dot{q}_i\,dp_i-\dot{p}_i\,dq_i\right]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt

Under hensyntagen til det faktum, at den samlede differens af Hamiltonian også er lig med

dH=\sum _{i}\venstre[{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\,dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i} }}\,dp_{i}\right]+\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt

vi opnår bevægelsesligningerne for Hamiltons mekanik, kendt som Hamiltons kanoniske ligninger :

{\frac {\partial H}{\partial q_{j))}=-{\dot {p))_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial p_{j))} ={\dot {q))_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial t))=-{\frac {\partial L}{\partial t))

Hamiltons ligninger er førsteordens differentialligninger og er derfor nemmere at løse end Lagranges ligninger , som er andenordens differentialligninger. Trinene, der fører til bevægelsesligningerne, er imidlertid mere besværlige end i Lagrangiansk mekanik - startende med generaliserede koordinater og Lagrange-funktionen skal vi beregne Hamiltonian, udtrykke hver generaliseret hastighed i form af konjugerede momenta og erstatte de generaliserede hastigheder i Hamiltonian med konjugeret momenta. Generelt er der ringe præstationsgevinst ved at løse problemet i Hamiltonsk snarere end Lagrangiansk formalisme, selvom dette i sidste ende fører til de samme løsninger som Lagrangiansk mekanik og Newtons bevægelseslove .

Hovedformålet med den Hamiltonske tilgang er, at den giver grundlag for mere fundamentale resultater i klassisk mekanik.

For en vilkårlig funktion af kanoniske variable har vi $f(q,\;p,\;t)$

{\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i} }}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t))\,+\,\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i))}{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i))}{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\right)={\frac {\ delvis f}{\partial t}}\,+\,\{H,\;f\},

hvor er Poisson-beslaget . Denne ligning er den grundlæggende ligning for Hamiltons mekanik. Man kan kontrollere direkte, at den også er gyldig for selve de kanoniske variable eller . $\{H,\;f\}$ $f=q$ $f=p$

Det følger af denne ligning, at hvis en dynamisk variabel ikke er en direkte funktion af tiden, så er den et integral af bevægelse, hvis og kun hvis dens Poisson-parentes er lig med nul.

At udlede Hamiltons ligninger direkte fra princippet om stationær handling

En simpel direkte afledning af den Hamiltonske form for mekanik kommer fra den Hamiltonske notation af handlingen:

S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j} p_{j}{\dot {q}}_{j}-H(p,\;q)\right)\,dt,

som kan betragtes som et grundlæggende postulat af mekanik i denne formulering [2] . (Med og uden indekser mener vi her hele sættet af generaliserede momenta og koordinater). $s$ $q$

Stationaritetsbetingelse for handlingen

\deltaS=0

gør det muligt at opnå Hamiltons kanoniske ligninger, og variationen her udføres selvstændigt i og . Så vi får (igen, men nu uden at bruge den lagrangske metode) Hamiltons kanoniske ligninger: $\delta p_{j}$ $\delta q_{j}$

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}.

Ved at bruge den anden kan man udtrykke alt i form af mængden og , hvorefter udtrykket under integralet åbenbart bliver blot en Lagrange-funktion. Således får vi den lagrangske formulering af princippet om stationær (mindst) handling fra Hamiltonianeren. $p_{j}$ $q_{i}$ $\dot{q_i}$

Matematisk formalisme

Enhver glat funktion på en symplektisk manifold kan bruges til at definere et Hamilton-system. Funktionen er kendt som Hamiltonian eller energifunktionen . En symplektisk manifold kaldes et faserum . Hamiltonianeren genererer et specielt vektorfelt på en symplektisk manifold kendt som et symplektisk vektorfelt . $H\colon M\to \mathbb{R}$ $M$ $H$

Et symplektisk vektorfelt (også kaldet et Hamiltonsk vektorfelt) genererer et Hamiltonsk flow på manifolden. Vektorfeltintegralkurver er en én-parameter familie af mangfoldige transformationer med en parameter kaldet tid . Evolution i tid er givet af symplektomorfismer . Det følger af Liouvilles sætning , at enhver symplektomorfisme bevarer volumenformen i faserummet. Sættet af symplektomorfismer genereret af en Hamilton-strøm kaldes normalt Hamilton-mekanikken i et Hamilton-system.

Et Hamilton-vektorfelt genererer også en speciel operation, Poisson-beslaget . Poisson-beslaget virker på funktioner på en symplektisk manifold og giver således funktionsrummet på manifolden strukturen af en Lie-algebra .

Hvis vi har en sandsynlighedsfordeling , så kan vi vise, at dens konvektive afledede er lig med nul, da faserumhastigheden ( ) har nul divergens , og sandsynligheden er bevaret. Få $\rho$ ${{\dot p}_{i)),\;{{\dot q}_{i))$

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\rho ,\;H\}.

Dette udtryk kaldes Liouville-ligningen . Hver glat funktion over en symplektisk manifold definerer en familie af én-parameter symplektomorfismer, og hvis , så bevares af fasestrømmen. $G$ $\{G,\;H\}=0$ $G$

Integrerbarheden af Hamiltonske vektorfelter er et uløst problem. Generelt set er Hamilton-systemer kaotiske ; begreberne mål , fuldstændighed , integrerbarhed og stabilitet er dårligt defineret for dem. På nuværende tidspunkt er undersøgelser af dynamiske systemer hovedsageligt afsat til undersøgelse af systemers kvalitative egenskaber og deres ændringer.

Noter

↑ A.V. Borisov, I.S. Mamaev. Poisson-strukturer og Lie-algebraer i Hamiltoniansk mekanik. M.: RHD, 1999. - 464 s.
↑ Dette er (op til en konstant faktor, som kan udelades med et passende valg af enheder) måske det mest direkte skrevne udtryk for fasen $\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right )}$ i kvantemekanikken (set fra Feynman -vejintegralets synspunkt eller i en simpel semiklassisk betragtning af en bølgepakkes bevægelse), hvor momentum og energi er, op til samme konstante faktor (Plancks konstanter), bølgevektoren og frekvens $\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$ (her bruges for nemheds skyld kartesiske koordinater). Den stationære fase- metode giver derimod den klassiske tilnærmelse, som er fuldstændig analog med den beskrevne Hamilton-metode, med andre ord, den gentager den blot. Vi bemærker også, at dette generelt er en af de mest direkte måder at etablere en analogi mellem udbredelsen af "punkt"-bølgepakker af forstyrrelser i en bred klasse af medier og bevægelsen af et materielt punkt i mekanik. Denne analogi giver især mulighed for at opnå et andet nyttigt synspunkt på arten og egenskaberne af generaliserede impulser. $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$

Se også

Links

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vilazi G. Hamiltonsk dynamik. — Oversættelse fra engelsk. - M. : IKI og RHD, 2006. - 432 s. - ISBN 5-93972-444-2 .
ter Haar, D. Fundamentals of Hamiltonian mechanics . — M .: Nauka, 1974.
Vinogradov A. M., Dyer I. S. Hvad er Hamiltonsk formalisme? // Fremskridt i matematiske videnskaber. - 1975. - V. 30, hæfte 1 (181), - s. 173–198.
Vinogradov A. M., Kupershmidt B. A. Den Hamiltonske mekaniks struktur // Fremskridt i matematiske videnskaber. - 1977. - T. 32. - s. 175-236.
Abraham R., Marsden JE Foundations of Mechanics. - London: Benjamin-Cummings, 1978. - ISBN 0-8053-0102-X .
Rychlik M. Lagrangiansk og Hamiltonsk mekanik — En kort introduktion. (utilgængeligt link siden 18-05-2013 [3449 dage] - historie )
Binney J. Klassisk mekanik . — Forelæsninger i PDF -format .
Tong D. Klassisk dynamik . — Forelæsninger ved University of Cambridge.

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk
I bibliografiske kataloger	GND : 4376155-0