Intern metrik

En intern metrik er en metrik i rummet , defineret ved hjælp af længdefunktionen, som infimum af længderne af alle stier (kurver), der forbinder et givet par punkter.

Definitioner

Lad et topologisk rum blive givet og en klasse af nogle tilladte stier vælges , der er indeholdt i sættet af alle kontinuerte stier i . $x$ $\Gamma$ $x$

En længdefunktion er givet på rummet, hvis der er givet en funktion på mængden , der forbinder hver med en værdi (ikke-negativt tal eller uendeligt), som kaldes længden af stien . $x$ $\Gamma$ $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$ $\gamma \in \Gamma$ $L(\gamma )$ $\gamma$

En metrik på rummet kaldes intern , hvis afstanden mellem dem for to punkter bestemmes af formlen , hvor infinum overtages alle tilladte stier, der forbinder punkterne . $\rho$ $x$ $x,y\i X$ $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ $x,y\i X$

Relaterede definitioner

Lad være to vilkårlige punkter i et metrisk rum og være et vilkårligt positivt tal. Et punkt kaldes deres midtpunkt if $x,y\i X$ $\rho ,X$ $\varepsilon$ $z_{\epsilon }\in X$ $\varepsilon$ $\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2))\rho (x,y)+\varepsilon .$

Et metrisk rum kaldes geodætisk , hvis to punkter kan forbindes af en korteste vej . $(X,\rho)$ $x$

Egenskaber

Hvis er et mellemrum med en iboende metrisk, så er der for alle to punkter deres -midt . I det tilfælde, hvor det metriske rum er komplet , finder den omvendte påstand også sted: hvis der for to punkter og et hvilket som helst findes deres -midt , så er denne metrik intern. $(X,\rho)$ $x,y\i X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $(X,\rho)$ $x,y\i X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$
Et komplet metrisk rum med iboende metrisk har følgende egenskab: for alle to punkter, og der er en længdekurve, der forbinder punkterne og . Desuden, i et komplet metrisk rum med iboende metrisk, falder længden af en korteste kurve sammen med afstanden mellem dens ender. $(X,\rho)$ $x,y\i X$ $\varepsilon >0$ $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ $x$ $y$
Hopf-Rinow-sætning : Hvis er et lokalt kompakt komplet metrisk rum med iboende metrisk, så kan to punkter forbindes med den korteste vej. Desuden er rummet begrænset kompakt (det vil sige, at alle afgrænsede lukkede delmængder er kompakte ). $(X,\rho)$ $x$ $x$ $x$

Se også

Litteratur

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. , Metrisk geometri kursus. - Moskva-Izhevsk, Institut for Computerforskning, 2004. ISBN 5-93972-300-4