Wiener proces

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. januar 2020; checks kræver 10 redigeringer .

Wiener-processen i teorien om tilfældige processer er en matematisk model af Brownsk bevægelse eller tilfældig gang med kontinuerlig tid .

Definition

En tilfældig proces , hvor kaldes en Wiener-proces, if $W_{t}$ $t\geq 0$

$W_{0}=0$ næsten sikker .
$W_{t}$ er en proces med uafhængige trin .
$W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(ts))$ ... _ $\forall 0\leq s<t<\infty$

hvor er en normalfordeling med middelværdi og varians . Værdien , som er konstant for processen, vil yderligere blive betragtet som lig med . $\mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(ts))$ $0$ $\sigma ^{2}(ts)$ $\sigma ^{2}$ $en$

Tilsvarende definition:

$W_{t}$ er en gaussisk proces .
$\mathbb {E} W_{t}=0$ , . $\forall t\geqslant 0$
${\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)$ , . $\forall t,s\geqslant 0$

Kontinuitet af baner

Der er en unik wienerproces, så næsten alle dens baner er kontinuerlige overalt . Da denne proces normalt betragtes, er betingelsen om kontinuitet af baner ofte inkluderet i definitionen af Wiener-processen.

Egenskaber for Wiener-processen

$W_{t}$ er en gaussisk proces .
$W_{t}$ er en Markov-proces .
$W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)$ . I overensstemmelse hermed , og $\mathbb {E} [W_{t}]=0$ $\mathrm {D} [W_{t}]=t$

$\mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)$ .
$W_{t}$ - martingal. Her mener vi med martingal ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau ))$
Hvis det er en wienerproces, så vil , også være en wienerproces. $W_{t}$ $tW_{1/t},t>0$ $0,t=0$

Wiener-processen er skala-invariant eller selv-lignende . Hvis er en Wiener-proces, og så $W_{t}$ $c>0$

V_{t}={\frac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}

er også en wienerproces.

Korrelationsfunktionen for den afledede af Wiener-processen er deltafunktionen .

Banerne for en Wiener-proces er ingen steder næsten sikre differentierbare . Den afledte (i en generaliseret betydning) af Wiener-processen er normal hvid støj .

For ethvert givet segment af Wiener-processens bane er funktionen af ubegrænset variation på dette segment næsten sikker .

For Wiener-processen er loven om den itererede logaritme gyldig .

\limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1

næsten sandsynligvis .

$\int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)$

Multidimensionel wienerproces

En flerdimensionel ( -dimensionel) wienerproces er en -vurderet tilfældig proces sammensat af uafhængige endimensionelle wienerprocesser, dvs. $n$ $\mathbf {W} _{t}$ $\mathrm {R} ^{n}$ $n$

\mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots,W_{t}^{n}\right)^{\top },\quad t\geq 0

hvor processerne i fællesskab er uafhængige . $\left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots ,n$

Forbindelse med fysiske processer

Wiener-processen beskriver den brownske bevægelse af en partikel, der foretager tilfældige bevægelser under påvirkning af påvirkninger af væskemolekyler. Konstanten i dette tilfælde afhænger af partiklens masse og væskens viskositet . $\sigma ^{2}$