Wienerpølse

Wienerpølsen er kvarteret til den Brownske bevægelsesbane på tidspunktet t , givet ved alle punkter, der ikke er mere end en given afstand fra banepunkterne. Det kan afbildes som en pølse med en given radius, hvis guide er banen for Brownsk bevægelse. Wienerpølse blev opkaldt efter Norbert Wiener af forskerne Monroe D. Donsker og S.R. Srinavas Varadhan ( 1975 ) på grund af dens tilknytning til Wiener-processen . Wienerpølsen er en af de enkleste ikke-Markov-funktioner i Brownsk bevægelse. Det bruges i tilfældige processer, herunder varmeledning. Det blev først beskrevet af Frank Spitzer ( 1964 ) og blev brugt af Mark Katz og Luttinegr ( 1973 , 1974 ) til at forklare resultaterne af Bose-kondensateksperimenter ( 1975 ). $t$

Definitioner

Wienerpølsen med radius og længde er en tilfældig variabel med flere værdier på Brownske baner b (i nogle euklidiske rum), defineret som $W_{\delta }(t)$ $\delta$ $t$

W_\delta(t)({b})

er et sæt punkter placeret i en afstand, der ikke er mere end fra et punkt b ( x ) på banen b c .

\delta

0\leq x\leq t

Volumen af wienerpølsen

Der er blevet arbejdet meget på opførselen af wienerpølsens volumen (den Lebesgue-mål ), da dens radius har en tendens til nul ( ). Faktisk svarer dette til en uendelig forlængelse af pølsen ( ). Spitzer viste, at i tre dimensioner er den forventede værdi af volumen af en pølse $|W_{\delta}(t)|$ $\delta \højrepil 0$ $t\højrepil\infty$

$E(|W_\delta(t)|) = 2\pi\delta t + 4\delta^2\sqrt{2\pi t} +4\pi\delta^3/3.$

I -dimensionelt rum ved er asymptotikken for rumfanget af wienerpølsen ved lig med $d$ $d\geq 3$ $t\højrepil\infty$

$\delta^{d-2} \pi^{d/2}2t/\Gamma((d-2)/2)$

I et- og todimensionelle rum erstattes formlen af hhv . Whitman, en elev af Spitzer, opnåede lignende resultater for generaliseringer af wienerpølser med sektioner givet af mere generelle komprimeringer end en kugle. $\sqrt{8t/\pi}$ $2{\pi}t/\log(t)$

Litteratur

Donsker, M.D. & Varadhan, SRS (1975), Asymptotics for the Wiener Sausage , Communications in Pure and Applied Mathematics bind 28 (4): 525–565 , doi 10.1002/cpa.3160280406
F. den Hollander . Wienerpølse - Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098
Kac, M. & Luttinger, JM (1973), Bose-Einstein-kondensation i nærvær af urenheder , J. Mathematical Phys. T. 14 (11): 1626–1628 , DOI 10.1063/1.1666234
Kac, M. & Luttinger, JM (1974), Bose-Einstein kondensation i nærvær af urenheder. II , J. Mathematical Phys. V. 15 (2): 183–186 , DOI 10.1063/1.1666617
Simon, Barry (2005), Funktionel integration og kvantefysik , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3 Især kapitel 22.
Spitzer, F. (1964), Elektrostatisk kapacitet, varmestrøm og Brownsk bevægelse , Sandsynlighedsteori og relaterede felter bind 3 (2): 110–121 , DOI 10.1007/BF00535970
Spitzer, Frank (1976), Principles of random walks , vol. 34, Graduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, s. 40 (genoptryk af 1964-udgaven)
Sznitman, Alain-Sol (1998), Brownsk bevægelse, forhindringer og tilfældige medier , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64554-3 En avanceret monografi, der dækker wienerpølsen.
Whitman, Walter William (1964), Nogle stærke love for tilfældige gåture og Brownsk bevægelse , PhD-afhandling, Cornell U.

Wienerpølse

Definitioner

Volumen af ​​wienerpølsen

Litteratur

Volumen af wienerpølsen