Uendelig delelig fordeling

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. oktober 2018; checks kræver 6 redigeringer .

En uendeligt delelig fordeling i sandsynlighedsteori er en fordeling af en stokastisk variabel, således at den kan repræsenteres som et vilkårligt antal uafhængige, ligeligt fordelte led.

Definition

En stokastisk variabel siges at være uendeligt delelig, hvis den for nogen kan repræsenteres i formen $Y$ $n\in \mathbb {N}$

{\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)))

hvor er uafhængige , identisk fordelte stokastiske variable. ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n))$

Egenskaber for uendeligt delbare distributioner

Den karakteristiske funktion af en uendeligt delelig stokastisk variabel har formen: $\phi _{Y}(t)$ $Y$

$\phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)$ .

Den karakteristiske funktion af en uendeligt delelig fordeling forsvinder ikke.
Fordelingsfunktionen af summen af uafhængige stokastiske variable med uendeligt delelige fordelingsfunktioner er også uendeligt delelig.
En fordelingsfunktion, der er begrænsende for en sekvens af uendeligt delbare fordelingsfunktioner, er uendelig delelig.

Kanoniske repræsentationer af uendeligt delbare distributioner

Kolmogorovs teorem

For at en fordelingsfunktion med endelig varians kan være uendelig delelig, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at logaritmen af dens karakteristiske funktion har formen: $\Phi (x)$ $\phi (t)$

\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2} }}dG(x)

hvor er en reel konstant og er en ikke-aftagende funktion af afgrænset variation, forstås integralet i Lebesgue-Stieltjes forstand . $\gamma$ $G(x)$

Levy-Khinchin formel

Lade være den karakteristiske funktion af en uendeligt delelig fordeling på . Så er der en ikke-aftagende funktion af begrænset variation , således at $\phi (t)$ $\mathbb {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+ u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)

Eksempler

Følgende fordelinger er uendeligt delelige: Cauchy -fordeling , Poisson-fordeling , normalfordeling , gamma-fordeling .

Lad et sandsynlighedsrum gives , hvor $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)$

m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

for nogle . Derefter en tilfældig variabel med formen $\lambda>0$ $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$

X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}

er ikke uendeligt delelig.

Uendelig delelig fordeling på lokalt kompakte Abelske grupper

En fordeling på en lokalt kompakt Abelsk gruppe siges at være uendelig delelig, hvis der for hver naturlig findes et element og en fordeling på sådan, at , hvor er en degenereret fordeling koncentreret ved (se [1] , [2] ). $\mu$ $x$ $n$ $x_{n}\in X$ $\mu _{n}$ $x$ $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n))$ $E_{x_{n))$ $x_{n}$

Eksempler på uendeligt delbare fordelinger på lokalt kompakte Abelske grupper er degenererede fordelinger, skift af Haar-fordelinger af kompakte undergrupper, generaliserede Poisson-fordelinger .

Se også

Stabil distribution .

Litteratur

B.V. Gnedenko Course of Probability Theory, Moscow, Nauka, 1965, 400 s.

Noter

↑ K. R. Parthasarathy, R. Ranga Rao, S. R. S. Varadhan, "Sandsynlighedsfordelinger på lokalt kompakte Abelian-grupper", Mathematics , 9 :2 (1965), ( Parthasarathy, KR ; Rao, RR ; Varadhan, SRS Arkiveret 26. august 2020 Maskinsandsynlighedsfordelinger på lokalt kompakte Abelian-grupper Ill. J. Math 7, 337-369 (1963) Arkiveret 26. august 2020 på Wayback Machine )
↑ Parthasarathy KR Sandsynlighedsmål på metriske rum. Sandsynligvis. Matematik. statistik. - 3. - New York - London: Academic Press, 1967.