Algebraisk lukket felt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. december 2018; checks kræver 3 redigeringer .

Et algebraisk lukket felt er et felt , hvor hvert polynomium af ikke-nul grad over har mindst én rod . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

For ethvert felt er der en unik, op til isomorfisme , dens algebraiske lukning , det vil sige dens algebraiske forlængelse , som er algebraisk lukket.

Egenskaber

I et algebraisk lukket felt har hvert polynomium af grad n nøjagtigt n (tæller multiplicitet) rødder i . Med andre ord har hvert irreducerbart polynomium i en polynomialring grad 1. Se også Bézouts sætning . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$
Finite felter kan ikke lukkes algebraisk. Faktisk kan man overveje et polynomium af endelig grad, hvis rødder alle er elementer i feltet. Hvis 1 føjes til det , vil det resulterende polynomium ikke have rødder.
Den algebraiske lukning af feltet af reelle tal er feltet for komplekse tal . Dens algebraiske lukning er etableret af algebras grundlæggende sætning .
Den algebraiske lukning af feltet med rationelle tal er feltet for algebraiske tal .
Feltet med aritmetiske tal er algebraisk lukket.

Konstruktion

En mulig konstruktion af en algebraisk lukning for et vilkårligt felt blev konstrueret af Emil Artin .

Lad feltet være givet . Det er nødvendigt at konstruere en algebraisk lukning af dette felt. $\mathbb {K}$

Definer som mængden af alle irreducerbare polynomier over feltet . Hvert polynomium er forbundet med en variabel . Betegn ved sættet af alle sådanne variabler . Vi danner en ring af polynomier . Det kan påvises, at idealet genereret af alle polynomier af formen ikke er enkelt. Så kan vi gå over til det maksimale ideal , der indeholder idealet (her bruger vi det valgte aksiom ) og få feltet . Hvis vi identificerer de konstante polynomier med hovedfeltets elementer, får vi . $F\subset \mathbb {K} [x]$ $\mathbb {K}$ ${\displaystyle x_{f))$ $x$ $X=\{x_{f}|f\in F\}$ $\mathbb {K} [X]$ $jeg$ $f(x_{f})$ $JEG'$ $jeg$ $\mathbb {K_{1}}=\mathbb {K} [X]/I'$ $\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}}$

Et felt kan ses som et felt opnået ved at tilføje en rod til feltet af hvert irreducerbart polynomium. For at fastgøre resten af rødderne skal du gentage denne konstruktion. Gentag det for feltet og få feltet . Ved at gentage dette én gang kan du få feltet . Således har vi et tårn af marker : $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K_{2}}$ $n$ $\mathbb {K_{n}}$

\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n)) \subset \mathbb {K_{n } +1}} \subset \ldots

Ved at kombinere alle disse felter får feltet . Den algebraiske lukning af dette felt er indlysende. [en] $\mathbb {K_{\infty ))=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n))$

Se også

Noter

↑ Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968.