Adiabatisk invariant

En adiabatisk invariant er en fysisk størrelse , der ikke ændres med en jævn ændring i nogle parametre i et fysisk system , sådan at den karakteristiske tid for denne ændring er meget længere end den karakteristiske tid for de processer, der forekommer i selve systemet [1] .

Oprindelse af udtrykket

Adiabatisk proces betød oprindeligt en proces uden varmeudveksling med miljøet. Navnet opstod fra udtrykket "adiabatisk skal" ( anden græsk ἀδιάβατος - "uigennemtrængelig") - en skal, der ikke tillader varme at passere igennem.

Men i midten af det 20. århundrede begyndte nogle videnskabsmænd (især L. D. Landau ) at kalde dette en proces, der passerer gennem praktisk talt ligevægtstilstande, det vil sige ret langsomt og jævnt. Nu kaldes en sådan proces kvasi-statisk eller ligevægt. Historisk set optrådte navnet "adiabatisk invariant" i analogi med en sådan termodynamisk proces.

I øjeblikket bruges ordet "adiabatisk" igen i sin oprindelige betydning ("proces uden varmeveksling med mediet"), men udtrykket "adiabatisk invariant" er allerede blevet etableret.

Klassisk mekanik

I et klassisk mekanisk system, der udfører periodisk bevægelse med en periode og afhænger af parameteren , er adiabaticiteten af parameterændringen bestemt af tilstanden $T$ $\lambda$

T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda

Hamilton-funktionen af systemet afhænger af dets interne variabler og parameteren

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )

Interne variabler og ændrer sig hurtigt med tiden, med en periode på . Men systemets energi er integralet af bevægelse med den konstante parameter . Når parameteren ændres over tid $q$ $s$ $T$ $E$ $\lambda$

{\frac {dE}{dt))={\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda )){\frac {d\lambda }{dt))

Når dette udtryk er gennemsnittet over tid over en periode, kan vi antage, at parameteren er uændret. $\lambda$

{\overline {\frac {dE}{dt))}={\frac {d\lambda }{dt)){\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda }}}

hvor gennemsnittet er defineret som

{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))}={\frac {1}{T))\int \limits _{0}^{T }{\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))\,dt

Det er praktisk at skifte fra integration over tid til integration over en variabel : $q$

dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}

I dette tilfælde er perioden $T$

T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H))/\partial p))

hvor integrationen udføres frem og tilbage inden for koordinatændringen i bevægelsesperioden.

At skrive momentum som funktion af energi , koordinat og parameter, efter nogle transformationer kan man få $E$ $q$

\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E)){\overline {\frac {\partial E}{\partial t))}+{\frac {\partial p}{ \partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0

Endelig kan du skrive

{\overline {\frac {dI}{dt))}=0

hvor værdien

I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq

og vil være en adiabatisk invariant.

Integralet inkluderet i det resulterende udtryk får en simpel geometrisk betydning, hvis vi vender os til begrebet faserummet og fasebanen for systemet i det. I det pågældende tilfælde har systemet én frihedsgrad , så faserummet er et faseplan dannet af et sæt punkter med koordinater og . Da systemet udfører periodisk bevægelse, er dets fasebane [2] henholdsvis en lukket kurve på dette plan, integralet tages langs denne lukkede kurve. Som et resultat følger det, at integralet er lig med arealet af figuren afgrænset af systemets fasebane. $s$ $q$ $\oint p\,dq$

Arealet kan også udtrykkes som et todimensionelt integral, så for den adiabatiske invariant,

I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq

Eksempel. Harmonisk oscillator

Overvej, som et eksempel, en endimensionel harmonisk oscillator . Hamilton-funktionen af en sådan oscillator har formen

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}

hvor er oscillatorens naturlige (cykliske) frekvens . Fasebaneligningen i dette tilfælde er bestemt af energibevarelsesloven og har derfor formen $\omega$ $H(p,q)=E$

{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E

Det kan ses af ligningen, at banen er en ellipse med semi-akser og derfor dens areal, divideret med , er lig med . Således er mængden en adiabatisk invariant for en harmonisk oscillator. Det følger heraf, at i tilfælde, hvor oscillatorens parametre ændres langsomt, ændres dens energi i forhold til frekvensen. ${\sqrt {2mE))$ ${\displaystyle {\sqrt {2E/m\omega ^{2))))$ $2\pi$ ${\frac {E}{\omega ))$ $I={\frac {E}{\omega ))$

Egenskaber for den adiabatiske invariant

Den energiafledte af den adiabatiske invariant er lig med perioden divideret med . $2\pi$

2\pi {\frac {\partial I}{\partial E))=T

eller

{\frac {\partial E}{\partial I))=\omega

hvor er den cykliske frekvens. $\omega$

Ved hjælp af kanoniske transformationer kan man lave en adiabatisk invariant af en ny variabel, som kaldes handlingsvariablen. I det nye system af variable spiller det rollen som momentum . Variablen konjugerer kanonisk kaldes den vinkelvariable .

Noter

↑ Dykhne A. M. Adiabatiske invarianter // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1. Aharonov-Bohm effekt - Lange linjer. - S. 26. - 704 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ Fasebane - et sæt punkter med koordinater svarende til de værdier, der antager værdierne og i processen med systembevægelse. $s$ $q$

Litteratur

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mekanik. - 4. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988 . - S. 199-202. — 215 s. — (“Teoretisk fysik”, bind I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Kotelnikov IA- forelæsninger om plasmafysik. Bind 1: Fundamentals of Plasma Physics. - 3. udg. - Sankt Petersborg. : Lan , 2021. - 400 s. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .