ATC-sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. september 2021; checks kræver 3 redigeringer .

ATS-sætning - en sætning om tilnærmelse af en trigonometrisk sum med en kortere.

I nogle områder af matematik og matematisk fysik, summen af formen

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.

Her og er virkelige funktioner af et rigtigt argument, $\varphi(x)$ $f(x)$ $i^2= -1.$

Sådanne summer optræder for eksempel i talteori, når man analyserer Riemann zeta-funktionen , når man løser problemer relateret til fordelingen af heltalpunkter i forskellige områder på et plan og i rummet , når man studerer Fourier-rækker , når man løser differentialligninger som bølgen ligning , ligning termisk ledningsevne osv.

Indledende bemærkninger

Lad os kalde længden af summen $S$ et tal (for heltal , og dette er kun antallet af led i ). $ba$ $-en$ $b$ $S$

Vi vil bruge følgende notation:

Hvis eller notation betyder, at der er konstanter og , sådan at $B > 0, B \til +\infty$ $B \ til 0$ $1 \ll \frac{A}{B} \ll 1$ $C_1 > 0$ $C_2 > 0,$ $C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$
For en rigtig notation betyder det $\alfa$ $\|\alpha \|$ $\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$ hvor er brøkdelen $\{\alpha\}$ $\alfa.$

Lad os formulere hovedsætningen om erstatning af en trigonometrisk (nogle gange også kaldet eksponentiel) sum med en kortere.

ATS-sætning

Lad de virkelige funktioner og opfylde følgende betingelser på intervallet: $f(x)$ $\varphi(x)$ $[a,b]$

$f''(x)$ og er kontinuerlige; $\varphi''(x)$
der er tal , og sådan noget $H$ $U$ $V$ $H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<ba\leq V,$ $\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ f' ''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ f''''(x) \ll \frac{ 1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{array}$

Bestem derefter tallene fra ligningen $x_{\mu }$

f'(x_{\mu}) = \mu,

vi har

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi if(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)} C(\mu)Z(\mu) + R ,

hvor

R = O \left(\frac{HU}{ba} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i }}s\ et\ heltal};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}}),{\sqrt {U}}\right)\ ,&\ { {\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{array}}\right.

j = a,b;

C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \ frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end {array}\right.

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu)))))e^ { 2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .

Van der Corputs Lemma

Den enkleste version af den formulerede sætning er et udsagn, der i litteraturen kaldes van der Corput-lemmaet .

Lade være en reel differentierbar funktion på intervallet , desuden inden for dette interval dens afledte er en monotonisk og tegn-konstant funktion, og for , opfylder uligheden $f(x)$ $a< x \le b$ $f'(x)$ $\delta = konst$ $0 < \delta < 1$

|f'(x)| \leq \delta .

Derefter

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\ delta}{1-\delta}\right),

hvor $|\theta| \le 1.$

Hvis parametrene og er heltal , kan det sidste udtryk erstattes af følgende: $-en$ $b$

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \frac12e^{2\pi if(b)} - \frac12e^{2\pi if(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta},

hvor . $|\theta| \le 1$

Ansøgning

Se [1] , [2] , se også [3] , [4] for anvendelser af ATS i fysikproblemer .

Historie

Problemet med at tilnærme en trigonometrisk række ved enhver passende funktion blev overvejet af Euler og Poisson .

Summen kan under visse betingelser erstattes med god nøjagtighed med en anden sum $\varphi(x)$ $f(x)$ $S$ $S_1,$

S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} ,

hvis længde er meget mindre end formens første relationer $\beta-\alfa$ $ba.$

S=S_{1}+R\ ,

hvor er det resterende led, med specifikke funktioner og blev opnået af G. Hardy og J. Littlewood [5] [6] [7] , når de udledte en funktionel ligning for Riemann zeta-funktionen og I. Vinogradov [8] , når de overvejede antal heltalspunkter i områder på planet. Generelt set blev sætningen bevist af J. Van der Corput [9] [10] (for nylige resultater relateret til Van der Corputs sætning, se [11] ). $R$ $\varphi(x)$ $f(x),$ $\zeta (s)$

I hvert af ovenstående værker blev der pålagt nogle begrænsninger på funktionerne og . Med begrænsninger passende for anvendelser blev sætningen bevist af A. A. Karatsuba i [12] (se også [13] [14] ). $\varphi(x)$ $f(x)$

Noter

↑ EA Karatsuba Approximation af summer af oscillerende summer i visse fysiske problemer, - JMP 45:11 , pp. 4310-4321 (2004).
↑ EA Karatsuba Om en tilgang til studiet af Jaynes-Cummings summen i kvanteoptik, - Numerical Algorithms, Vol. 45, nr. 1-4, s. 127-137 (2007).
↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Bedste chirplet-kæde: næsten optimal detektion af gravitationsbølger, Phys. Rev. D73 :4 , 042003, s. 1-23 (2006).
↑ M. Fleischhauer, W.P. Schleich Revivals forenklet: Poisson summationsformel som en nøgle til genoplivningerne i Jaynes-Cummings modellen, Phys. Rev. A 47:3 , s. 4258-4269 (1993).
↑ GH Hardy og JE Littlewood Den trigonometriske serie forbundet med de elliptiske θ-funktioner, Acta Math. 37 , s. 193-239 (1914).
↑ GH Hardy og JE Littlewood Bidrag til teorien om Riemann Zeta-funktion og teorien om fordelingen af primtal, - Acta Math. 41 , s. 119-196 (1918).
↑ GH Hardy og JE Littlewood Nulerne i Riemanns zeta-funktion på den kritiske linje, Math. Z., 10 , s. 283-317 (1921).
↑ I. M. Vinogradov Om middelværdien af antallet af klasser af rene rodformer af en negativ determinant, - Soobshch. Kharkiv. Måtte. Islands, bd. 16, nr. 1/2, s. 10-38 (1918).
↑ JG Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, Math. Ann. 84 , s. 53-79 (1921).
↑ JG Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, Math. Ann., 87 , s. 39-65 (1922).
↑ HL Montgomery Ti forelæsninger om grænsefladen mellem analytisk talteori og harmonisk analyse, - Am. Matematik. Soc., 1994.
↑ A.A. Karatsuba Approksimation af eksponentielle summer med kortere, - Proc. indisk. Acad. sci. (Math. Sci.) 97:1-3 , s. 167-178 (1987).
↑ S. M. Voronin, A. A. Karatsuba Riemann zeta function, - M . : Fizmatlit, 1994.
↑ A. A. Karatsuba, M. A. Korolev En sætning om tilnærmelse af en kortere trigonometrisk sum, Izvestiya RAN. Matematikserien, bind 71, nr. 2, s. 123-150 (2007).