Abc hypotese

Abc-hypotesen ( Esterle -Musser-hypotesen) er et udsagn i talteori formuleret uafhængigt af matematikerne David Masser i 1985 [1] og Joseph Esterle i 1988 [2] .

Beviset for abc -formodningen har længe været et af de vigtigste uløste problemer i talteorien og er det den dag i dag. Status for dette problem er i øjeblikket bestridt. Det har endnu ikke været muligt at bekræfte eller afkræfte Mochizukis bevis opnået i 2012.

Ordlyd

For enhver er der en konstant , ved hvilken for alle tre coprime heltal , og , således at uligheden $\varepsilon >0$ $K(\varepsilon)$ $-en$ $b$ $c$ $a+b=c$

\max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatørnavn {rad} (abc){\ stor )}^{1+\varepsilon },

hvor er tallets radikal , det vil sige tallet lig med produktet af produktets primtalsdelere . $\operatørnavn {rad}(abc)$ $abc$ $abc$

Noter

Uden tab af generalitet kan vi kun overveje stigende naturlige tal , og . Så reduceres uligheden til følgende: $-en$ $b$ $c$ $c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatørnavn {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.$
Betingelsen er nødvendig. For enhver er der en tredobbelt af coprimtal, sådan at . For eksempel en trippel af formen , hvor . $\varepsilon >0$ $K$ $a,b,c=a+b$ $c>K\cdot \operatørnavn {rad} (abc)$ $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$ $K<3^{n-1}$

Konsekvenser

Beals formodning og Fermats sidste sætning

Gyldigheden af abc - hypotesen indebærer gyldigheden af Beals hypotese for tilstrækkeligt store , og derfra gyldigheden af Fermats sidste sætning for tilstrækkeligt store grader [3] . $z$

Bevis for Beals formodning baseret på abc -hypotesen

Ifølge Beals formodning, hvis ( , , , , , er naturlige tal og ), så har , , en fælles divisor. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $EN$ $B$ $C$ $x$ $y$ $z$ $x,\;y,\;z>2$ $EN$ $B$ $C$

Lad os bevise Beales formodning for tilstrækkelig stor fra det modsatte . Antag, at der er et uendeligt antal , for hvilke Beals formodning er falsk. Vi anvender abc- hypotesen, ifølge hvilken: $z$ $z$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatørnavn {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{{1+\varepsilon } }

Lad os lære det . Derfor: $\operatørnavn {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})=\operatørnavn {rad}(ABC)\leqslant ABC$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatørnavn {rad}(ABC)\right)^{{1+\varepsilon }}\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^ {{1+\varepsilon}}

Da det er indlysende ud fra sætningens betingelser, at og , Så . Derefter: $A<C$ $B<C$ $ABC\leqslant C^{3}$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{{3+3\varepsilon }}

Tager vi logaritmen af begge dele af uligheden og dividerer med , får vi en øvre grænse for værdien af : $\log C$ $z$

z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))+3+3\varepsilon

, (*)

desuden skal forholdet være endeligt, fordi ifølge betingelsen er , , naturlige (dvs. ) ${\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))$ $EN$ $B$ $C$ $A,B\geqslant 1\;\Højrepil \;C\geqslant 2$

Det er således muligt at finde en eller anden endelig værdi, for hvilken uligheden (*) ikke er opfyldt, dvs. abc -hypotesen er ikke gyldig her, hvilket betyder, at antagelsen om ugyldigheden af Beals hypotese for tilstrækkelig stor er fejlagtig . . For den resterende endelige mængde kan Beals formodning bevises numerisk. $z$ $z$ $z$

Hypoteser om Pillai og catalansk

Af abc -hypotesens gyldighed følger gyldigheden af Pillai-hypotesen , og fra den gyldigheden af den catalanske hypotese .

Mochizukis bevis

I august 2012 meddelte den respekterede japanske matematiker Shinichi Mochizuki , at det var lykkedes ham at bevise abc -formodningen [4] [5] . Beviset, han foreslog, viste sig at være ekstremt vanskeligt, selv fra specialiserede matematikeres synspunkt [6] .

Efter at have lagt beviset online afviste Mochizuki alle tilbud om at fortælle samfundet sine resultater personligt, men flere matematikere påtog sig at verificere beviset med Mochizukis hjælp. De udgiver statusrapporter om dette arbejde [7] . Fra slutningen af 2015 begyndte Mochizuki lidt efter lidt at kommunikere med samfundet om sine resultater [8] . Ved udgangen af 2017 er der fra 10 til 20 eksperter i teorien skabt af Mochizuki [9] i verden .

Således er beviset for Shinichi Mochizuki offentligt tilgængeligt, ikke tilbagevist, men anses endnu ikke for verificeret i det videnskabelige samfund. Det er usædvanligt, at et bevis forbliver i denne ubestemte tilstand i lang tid [9] [10] (i modsætning til tilfælde, hvor beviser, der blev betragtet som verificerede og korrekte, viste sig at have fejl).

I 2018 meddelte Peter Scholze og Jakob Stix, specialister inden for områder relateret til abc -hypotesen og Mochizukis arbejde, at på nøglepunktet i at bevise abc -hypotesen i Mochizukis teori (som længe har forårsaget særlige vanskeligheder for matematikere, der forsøger at forstå teorien) der er fatal fejl [11] [6] . Mochizuki svarede, at Stix og Scholze fejlfortolkede nogle centrale aspekter af hans bevis og derfor lavede uacceptable forenklinger [12] .

Fra 2020 er Mochizukis bevis stadig i en usikker status, det matematiske samfund er ikke overbevist om dets rigtighed, på trods af accepten af beviset til offentliggørelse i tidsskriftet Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, "Publications of the Research" Institute for Mathematical Sciences") Research Institute for Mathematical Sciences ved Kyoto University (Japan) er det institut, hvor Mochizuki arbejder [13] [14] .

I marts 2021 blev Mochizukis bevis offentliggjort i PRIMS [15] .

Se også

Noter

↑ DW Masser. Åbne problemer (engelsk) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / WWL Chen. - London: Imperial College, 1985. - Vol. 25 .
↑ J. Oesterle. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (fransk) // Séminaire N. Bourbaki. - 1988. - Bd. 694 . — S. 165–186 . — ISSN 0303-1179 .
↑ R. Daniel Mauldin. En generalisering af Fermats sidste sætning: Beal-formodningen og præmieproblemet // Meddelelser om AMS. - 1985. - Bd. 44 , nr. 11 . - S. 1436-1437 .
↑ Japansk matematiker annoncerede beviset for ABC-hypotesen , Lenta.ru (11. september 2012). Arkiveret fra originalen den 14. september 2012. Hentet 11. september 2012.
↑ Mochizuki, Shinichi (august 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theatres , Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation , Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-gittice. , Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations , tilgængelig på http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Arkiveret 2. februar 2021 på Wayback maskine
↑ 12 David Michael Roberts . En identifikationskrise // Inferens. - 2019. - Bd. 4, nr. 3.
↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Arkiveret 13. september 2014 på Wayback Machine , IUTeich Verification Report 2014-12 Arkiveret 22. januar 2015 på Wayback Machine
↑ "Japansk Perelman" indvilligede i at forklare matematikkens hovedhemmelighed. Arkivkopi dateret 27. november 2015 på Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08
↑ 12 Timothy Revell . Forvirrende ABC-matematikbevis har nu uigennemtrængeligt 300-siders 'resumé' . New Scientist (7. september 2017). Hentet 8. december 2017. Arkiveret fra originalen 23. december 2017. (ubestemt)
↑ Caroline Chen. Bevisets paradoks (4. maj 2013). Hentet 6. september 2016. Arkiveret fra originalen 16. september 2013. (ubestemt) Oversættelse: Daniil Basmanov. Bevisets paradoks (17. juni 2013). Dato for adgang: 6. september 2016. Arkiveret fra originalen 14. september 2016. (ubestemt)
↑ Klarreich, Erica . Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture , Quanta (20. september 2018). Arkiveret fra originalen den 14. marts 2021. Hentet 21. september 2018 _ _
↑ Mochizuki, Shinichi -rapport om diskussioner, afholdt i perioden 15.-20. marts 2018, vedrørende inter-universal Teichmüller-teori . Hentet 18. januar 2019. Arkiveret fra originalen 9. november 2018. (ubestemt)
Mochizuki, Shinichi Kommentarer til manuskriptet af Scholze-Stix vedrørende Inter-Universal Teichmüller Theory . Hentet 18. januar 2019. Arkiveret fra originalen 21. september 2018. (ubestemt)
Mochizuki, Shinichi Kommentarer til manuskriptet (2018-08 version) af Scholze-Stix vedrørende Inter-Universal Teichmüller Theory . Hentet 18. januar 2019. Arkiveret fra originalen 24. oktober 2018. (ubestemt)
↑ Tidsskriftet Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences vil trods alt offentliggøre matematikeren Shinichi Mochizukis arbejde med beviset på Esterle-Musser-formodningen Arkivkopi dateret 11. juni 2020 på Wayback Machine // Lenta.Ru , 3. april 2020
↑ Nature (UK): Matematisk bevis for at ryste talteori er på vej . Hentet 12. april 2020. Arkiveret fra originalen 12. april 2020. (ubestemt)
↑ Mochizuki, Shinichi Mochizukis bevis på ABC-formodninger . Hentet 14. juli 2021. Arkiveret fra originalen 3. maj 2021. (ubestemt)

Litteratur

Ian Stewart . "De største matematiske problemer". - M . : " Alpina faglitteratur ", 2016. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Abc hypotese

Ordlyd

Noter

Konsekvenser

Beals formodning og Fermats sidste sætning

Hypoteser om Pillai og catalansk

Mochizukis bevis

Se også

Noter

Links

Litteratur