Kernel (algebra)

Kernen i algebra er en karakteristik af kortlægningen , betegnet med , som afspejler forskellen fra den injektive kortlægning , normalt sættet af omvendte billeder af et fast (nul, identitet, neutralt) element . Den specifikke definition kan variere, men for en injektiv mapping skal sættet altid være trivielt, det vil sige at det skal bestå af ét element (normalt et neutralt element fra ). $\f:A\højrepil B$ $\ker \,f$ $f$ $e$ $f$ $\ker \,f$ $EN$

Hvis mængderne og har en vis struktur (for eksempel er de grupper eller vektorrum ), så skal de også have denne struktur, mens forskellige formuleringer af hovedhomomorfi-sætningen forbinder billedet og faktormængden . $EN$ $B$ $\ker \,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $A/\ker \,f$

Lineær kortlægningskerne

Kernen i en lineær mapping er det omvendte billede af nul-elementet i rummet : $f:\,V\til U$ $U$

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.

$\kerf$ er et underrum af . Det indeholder altid null space-elementet . Ifølge den fundamentale homomorfi-sætning er billedet isomorft i forhold til kvotientrummet med hensyn til kernen : $V$ $V$ $f$ $V$ $f$

\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.

Derfor er dimensionen af rumbilledet lig med forskellen mellem dimensionerne af rummet og kortlægningskernen, hvis dimensionen er endelig: $V$

\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,

og det omvendte billede af enhver vektor er defineret op til tilføjelsen af en vektor fra kernen:

f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U .

Ethvert grundlag for kernen kaldes et fundamentalt system af løsninger .

Matrix teori

Enhver rektangulær matrix af størrelse , der indeholder feltelementer (især reelle tal ), kan opfattes som en lineær operator til at multiplicere vektorer fra venstre med en matrix: $G$ $m\ gange n$ $K$ $g:{\mathbb {K}}^{n}\højrepil {\mathbb {K}}^{m}$

g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}

Resultaterne af teorien om endelig-dimensionelle lineære rum overføres således udelukkende til at arbejde med matricer. Især systemet af lineære ligninger med ukendte $n$

\left\{{\begin{matrix}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~ \ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.

kan betragtes som problemet med at finde forbilledet af vektoren , og problemet med at løse det homogene ligningssystem ( ) er reduceret til at finde kernen af kortlægningen . ${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$ ${\mathbf {b}}={\mathbf {0}}$ $g$

Eksempel

Lad være en lineær kortlægning og: $f$ $f:{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}$

f({\vec {x)))={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.

Så er dens kerne et vektorunderrum:

\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R} \ret\}.

Gruppehomomorfi

Hvis er en homomorfi mellem grupper , så danner den en normal undergruppe af . $f$ $\kerf$ $EN$

Ringhomomorfismer

Hvis det er en homomorfi mellem ringe , danner det et ideal for ringen . $f$ $\kerf$ $EN$

Se også

kokerne

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - Moscow: Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .