Dieckmann funktion

I analytisk talteori er Dieckmann-funktionen (et andet navn er Dieckmann-de Bruijn-funktionen ) ρ en speciel funktion, der bruges til at estimere antallet af glatte tal for en given grænse. Funktionen dukkede først op i Karl Dieckmann, i hans eneste papir om matematik [1] . Funktionen blev senere undersøgt af den danske matematiker Nicholas de Bruijn [2] [3] .

Definition

Diekmann-de Bruijn-funktionen er en kontinuerlig funktion , der opfylder differentialligningen med et skift $\rho (u)$

u\rho '(u)+\rho (u-1)=0

med startbetingelser for 0 ≤ u ≤ 1. $\rho (u)=1$

Det viste Dickman ud fra heuristiske overvejelser

\Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)

hvor er antallet af y - glatte heltal mindre end x . $\Psi(x,y)$

V. Ramaswami gav senere et strengt bevis på det

\Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)

i notation Big O [4] .

Ansøgninger

Diekmann-de Bruijn-funktionen finder sin hovedanvendelse ved at estimere hyppigheden af forekomst af glatte heltal inden for givne grænser. Funktionen kan bruges til at optimere forskellige talteoretiske algoritmer, selvom den i sig selv er interessant.

Ved hjælp af , kan man vise, at [5] $\log \rho$

{\displaystyle \Psi (x,y)=xu^{O(-u)))

som er relateret til nedenstående skøn . $\rho (u)\ca. u^{-u}$

Golomb-Dickmann-konstanten har en alternativ definition i forhold til Dieckmann-de Bruijn-funktionen.

Bedømmelse

En simpel tilnærmelse kan tjene . Det bedste skøn er givet af [6] $\rho (u)\ca. u^{-u}.$

\rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u))))\cdot \exp(-u\xi +\operatørnavn {Ei} (\xi ) )

hvor Ei er integraleksponentialfunktionen og ξ er ligningens positive rod

e^{\xi}-1=u\xi .

En simpel øvre grænse er givet af $\rho (x)\leq 1/x!.$

$u$	$\rho (u)$
en	en
2	3,0685282⋅10 -1
3	4,8608388⋅10 -2
fire	4,9109256⋅10 -3
5	3,5472470⋅10 -4
6	1,9649696⋅10 -5
7	8,7456700⋅10 -7
otte	3,2320693⋅10 -8
9	1,0162483⋅10 -9
ti	2,7701718⋅10 -11

Beregning

For hvert interval [ n − 1, n ] med heltal n eksisterer der en analytisk funktion, således at . For 0 ≤ u ≤ 1 ,. For 1 ≤ u ≤ 2 ,. For 2 ≤ u ≤ 3, $\rho _{n}$ $\rho _{n}(u)=\rho (u)$ $\rho (u)=1$ $\rho (u)=1-\log u$

\rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatørnavn {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^ {2}}{12}}

hvor Li 2 er dilogaritmen . Resten kan beregnes ved hjælp af uendelige serier [7] . $\rho _{n}$

En alternativ beregningsmetode kan være bestemmelse af de øvre og nedre grænser ved hjælp af den trapezformede metode [6] [8] .

Udvidelse

Bach og Peralta definerede en todimensionel analog af en funktion [7] . Denne funktion bruges til at evaluere en funktion, der ligner de Bruijn-funktionen, men under hensyntagen til antallet af y -glatte heltal med mindst én primfaktor større end z . Derefter $\sigma (u,v)$ $\rho (u)$ $\Psi(x,y,z)$

\Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).

Eksterne links

Broadhurst, David (2010), Dickman polylogaritmer og deres konstanter, arΧiv : 1004.0519 .
Soundararajan, K. (2010), En asymptotisk ekspansion relateret til Dickman-funktionen, arΧiv : 1005.3494 .
Weisstein, Eric W. Dickman funktion (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .