Newton-Cotes formler

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. oktober 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Newton-Cotes (Cotes) formler , også kaldet Newton-Cotes kvadraturregler eller blot Newton-Cotes regler, er en gruppe af formler for numerisk integration (også kaldet kvadraturer ) baseret på beregningen af en integrerbar funktion ved lige store punkter. Formlerne er opkaldt efter Isaac Newton og Roger Cotes .

Newton-Kots formlerne er nyttige, når værdierne af den integrerbare funktion er givet i punkter med samme afstand fra hinanden. Hvis det er muligt at ændre punkternes position, kan andre metoder, såsom Gauss-metoden og Clenshaw-Curtis-kvadratmetoden , være mere egnede

Beskrivelse

Det antages, at værdierne af funktionen f er defineret på segmentet og er kendt på det punkt, der ligger i lige stor afstand fra hinanden. Hvis og , det vil sige værdierne af funktionen bruges ved grænserne af intervallet, så kaldes funktionen en kvadratur af typen "lukket", og hvis og , det vil sige værdierne af funktionen i de yderste punkter af intervallet ikke bruges, så den "åbne" type [1] . Newton-Cotes formlerne ved hjælp af punkter kan defineres (for begge tilfælde) som [2] $[a,b]$ $n+1$ $a\leqslant x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leqslant b$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $x_{0}>a$ $x_{n}<b$ $n+1$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}A_{i}\,f(x_{i})

hvor

for en lukket type formel , hvor , $x_{i}=a+ih$ $h={\frac {ba}{n}}$
for en åben type formel , hvor . $x_{i}=a+(i+1)h$ $h={\frac {ba}{n+2))$

Tallet h kaldes trinstørrelsen , og kaldes kvadraturkoefficienten [3] . $A_{i}$

$A_{i}$ kan beregnes som integraler af Lagrange-basispolynomier , som kun afhænger af og ikke afhænger af funktionen f . Lade være et interpolationspolynomium i Lagrange-formen for givne punkter , Så $x_{i}$ $L(x)$ $(x_{0},f(x_{0})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b} \left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n} f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{A_{i}}.

Ustabilitet for høje kræfter

Man kan konstruere Newton-Cotes formlerne af enhver grad n . For store n kan Newton-Cotes-reglen dog nogle gange lide under Runge-fænomenet [4] , hvor fejlen vokser eksponentielt for store n . Metoder som Gauss-kvadratur eller Clenshaw-Curtis-kvadratur - med ulige afstande mellem punkter (som har en større tæthed ved enderne af integrationsintervallet) - er stabile og mere nøjagtige, og derfor sædvanligvis mere foretrukne end Newton-Cotes-kvadratur. Hvis disse metoder ikke kan bruges, dvs. hvis værdierne af udtrykket, der skal integreres, kun er angivet i et fast gitter med lige store afstande, kan Runge-fænomenet undgås ved at bruge intervalpartitionering, som forklaret nedenfor.

Også stabile Newton-Cotes-formler kan konstrueres, hvis interpolation erstattes af mindste kvadraters metode. Dette gør det muligt at skrive numerisk stabile formler selv for høje kræfter [5] [6] .

Newton-Cotes formler af lukket type

Følgende tabel viser nogle af Newton-Cotes-formlerne af lukket type. For lad , og notationen er en forkortelse for . $0\leqslant i\leqslant n$ $x_{i}=a+i{\tfrac {ba}{n}}=a+ih$ $f_{i}$ $f(x_{i})$

Lukkede Newton-Cotes formler

n	Trinstørrelse h	Almindeligt navn	Formel	Fejl
en	$ba$	Trapezmetode	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi)$
2	${\frac {ba}{2))$	Simpson formel	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$
3	${\frac {ba}{3))$	Simpson formel 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$
fire	${\frac {ba}{4))$	Booles regel	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi)$

Booles regel omtales nogle gange fejlagtigt som Bodes regel, som et resultat af en typografisk fejl i bogen af Abramovitz og Steegan [7] [8] .

Graden af segmentstørrelse h i fejlen viser den hastighed, hvormed tilnærmelsesfejlen falder . Rækkefølgen af den afledede af f i fejl giver den mindste grad af et polynomium, der ikke kan beregnes nøjagtigt (det vil sige med nul fejl) ved denne regel. Tallet skal tages fra intervallet (a, b). $\xi$

Newton-Cotes formler af åben type

Tabellen viser nogle åbne Newton-Cotes-formler. Igen, stenografi for , hvor . $f_{i}$ $f(x_{i})$ $x_{i}=a+i{\frac {ba}{n+2))$

Newton-Cotes åbne formler

n	Trinstørrelse h	Almindeligt navn	Formel	Fejl
0	${\frac {ba}{2))$	Riemann sum eller Riemann middelsum	$2hf_{1}\,$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi)$
en	${\frac {ba}{3))$		${\frac {3}{2}}h(f_{1}+f_{2})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi)$
2	${\frac {ba}{4))$	Milne formel	${\frac {4}{3}}h(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$
3	${\frac {ba}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$

Opdeling af et interval

For at Newton-Cotes formlen skal være mere nøjagtig, skal længden h være lille. Det betyder, at selve integrationsintervallet skal være lille, hvilket ikke er tilfældet i de fleste tilfælde. Af denne grund udføres numerisk integration sædvanligvis ved at opdele intervallet i mindre delintervaller, på hvilke Newton-Cotes-formlen anvendes, hvorefter resultaterne lægges sammen. Se artiklen Numerisk integration . $[a,b]$ $[a,b]$

Se også

Noter

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 240.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , s. 386-387.
↑ Kalashnikov, Fedotkin, Fokina, 2016 , s. 5.8.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , s. 390-391.
↑ Pavel Holoborodko. Stabile Newton-Cotes-formler (24. marts 2011). Hentet 17. august 2015. Arkiveret fra originalen 31. december 2017. (ubestemt)
↑ Pavel Holoborodko. Stabile Newton-Cotes-formler (åben type) (20. maj 2012). Hentet 18. august 2015. Arkiveret fra originalen 20. december 2017. (ubestemt)
↑ Abramowitz, Stegun, 1972 .
↑ Booles Rule på Wolfram Mathworld-siden fejlstavede året "1960" (i stedet for "1860") . Hentet 13. januar 2022. Arkiveret fra originalen 24. januar 2018. (ubestemt)

Litteratur

Retningslinjer for løsning af problemer i numerisk integration / komp. A.L. Kalashnikov, A.M. Fedotkin, V.N. Fokina. - Nizhny Novgorod, 2016.
Quarteroni. Numerisk matematik. — 2. - Springer, 2006. - ISBN 978-3-540-34658-6 .
Afsnit 25.4 // Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds.. - New York: Dover, 1972.
Abramovitz M., Stigan I. Håndbog i specialfunktioner, Med formler, grafer og matematiske tabeller. - Moskva: "Nauka", 1979.
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler. Afsnit 5.1. // Computermetoder til matematiske beregninger . — Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977.
Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP Afsnit 4.1. Klassiske formler for lige store abscisser // Numeriske opskrifter: The Art of Scientific Computing. — 3. - New York: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-88068-8 .
Josef Stoer, Roland Bulirsch. Afsnit 3.1 // Introduktion til numerisk analyse . — New York: Springer-Verlag, 1980.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Beregningsmetoder. - 2. udg. -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Russisk)