Rørformel

Rørformlen eller Weyl-formlen er et udtryk for volumen -kvarteret af en undermanifold som et polynomium i . Foreslået af Hermann Weil . $r$ $r$

Ordlyd

Lad et lukket - dimensionelt undermanifold i -dimensionelt euklidisk rum henholdsvis være en kodimension . $M$ $m$ $n$ $k=nm$ $M$

Angiv efter -kvarter . Så, for alle tilstrækkeligt små positive værdier , ligheden $Hr$ $r$ $M$ $r$

V(M_{r})=\omega _{k}\cdot r^{k}\cdot \sum _{m\geq 2\cdot i\geq 0}V_{i}(M)\cdot {\frac {r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)))),

hvor er volumen , er volumen af en enhedskugle i det euklidiske rum. og $V(M_{r})$ $Hr$ $\omega_{k}$ $k$

V_{i}(M)=\int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )

for et homogent polynomium af grad ; her betegner krumningstensoren . $p_{i}$ $jeg$ $\mathrm {Rm}$

Udtrykket er den såkaldte Lipschitz-Killing-krumning , den er proportional med den gennemsnitlige Pfaffian af krumningstensoren over alle - dimensionelle underrum af tangentrummet. $p_{i}(\mathrm {Rm} )$ $(2\cdot i)$

Noter

Den laveste ikke-nul koefficient er det dimensionelle volumen . $V_{0}(M)$ $m$ $M$
Hvis dimensionen er lige , så $M$ $m=2\cdot k$ $V_{k}=\chi (M),$

hvor er Euler-karakteristikken .

\chi (M),

M

Konsekvenser

Volumenet af et -kvarter af en simpel lukket glat kurve i -dimensionelt euklidisk rum for små er udtrykt ved formlen $r$ ${\displaystyle \gamma _{r))$ $\gamma$ $n$ $r$ $V(\gamma _{r})=L(\gamma )\cdot r^{n-1},$

hvor angiver længden .

L(\gamma )

\gamma

For glatte lukkede overflader i 3-dimensionelt euklidisk rum er ligheden $M$ $V(M_{r})=S(M)\cdot r+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.$
Hvis to undermanifolder af et eukidisk rum er isometriske, så er volumenet af deres -kvarterer det samme for alle små positive . $r$ $r$

Variationer og generaliseringer

Halvrørsformlen for hyperoverflader udtrykker volumenet af et ensidigt -nabolag , det er også et polynomium i , men ikke alle koefficienter afhænger af den indre krumning. Især for overflader i tredimensionelt rum tager halvrørsformlen formen $r$ ${\displaystyle M_{r}^{+))$ $r$ $V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits _{M}H{\biggr ]}\cdot r^{2}+{ \tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},$

hvor angiver middelkurvaturen .

H

Se også

Litteratur

Hermann Weyl. On the Volume of Tubes (engelsk) // American Journal of Mathematics. - 1939. - Bd. 61 , nr. 2 . - S. 461-472 .
Simon Willerton, Intrinsic Volumes og Weyl's Tube Formula