Udsagn svarende til valgaksiomet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. december 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Denne artikel overvejer forskellige formuleringer og beviser ækvivalensen af følgende sætninger:

Ækvivalensen af disse påstande skal forstås på den måde, at enhver af dem, sammen med Zermelo-Fraenkel (ZF) systemet af aksiomer for mængdeteori, er tilstrækkelig til at bevise resten.

Zorns lemma og Hausdorffs maksimumprincip

Udsagn om Zorn's Lemma ( eng. Zorn's Lemma ).

$\mathcal{ZL}_1.$ Et poset, hvor enhver kæde har en øvre grænse, indeholder et maksimumelement.

$\mathcal{ZL}_2.$ Hvis hver kæde i et delvist ordnet sæt har en øvre grænse, så er hvert element af underlagt et maksimum. $M$ $M$

$\mathcal{ZL}_3.$ Lad en familie af sæt have den egenskab, at foreningen af enhver kæde af sæt fra igen er et sæt af denne familie. Indeholder derefter det maksimale sæt. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Udtalelser om Hausdorffs maksimale princip :

$\mathcal{HM}_1.$ Enhver poset har en maksimal lineært ordnet delmængde

$\mathcal{HM}_2.$ I et delvist ordnet sæt er hver kæde indeholdt i nogle af dens maksimale kæder.

Vi vil bevise ækvivalensen af disse forslag i henhold til følgende skema:

\mathcal{ZL}_1 \quad \overset{(I)}{\Leftrightarrow} \quad \mathcal{ZL}_2 \quad \overset{(II)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_3 \quad \overset{(III)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_2 \quad \overset{(IV)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_1 \quad \overset{(V)}{ \Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_1

I.\;\mathcal{ZL}_1 {\Leftrightarrow} \mathcal{ZL}_2

Det er klart, at følger af , da det større hævdes i: der er et maksimumelement større end det givne . Omvendt, lad være en poset, hvor hver kæde har en øvre grænse, og lad . Lad os ansøge om sættet . Dets maksimale element er også det maksimale element af , og opfylder desuden betingelsen . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathcal{ZL}_2$ $\mathcal{ZL}_2$ $-en$ $M$ $en \i M$ $\mathcal{ZL}_1$ $M^{'} = \{ m \in M \mid m \geqslant a\}$ ${\overline {a}}$ $M$ $en \leqslant \overline{a}$

II.\;\mathcal{ZL}_2 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_3

Familien af mængder er delvist ordnet efter den mængde-teoretiske inklusionsrelation . Enhver kæde af sæt har en øvre grænse - det er mængden , som ved antagelse hører til systemet . I kraft af dette har familien et maksimumelement, det vil sige et sæt, der er maksimalt med hensyn til inklusion. $\mathfrak{M}$ $\subseteq$ $\{M_{\alpha}\}$ $\bigcup M_{\alpha}$ $\mathfrak{M}$ $\mathcal{ZL}_2$

III.\;\mathcal{ZL}_3 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_2

Lad være et delvist ordnet sæt, være en kæde i , og være sættet af alle kæder i indeholdende , ordnet med hensyn til inklusion. Eksistensen af en maksimal kæde indeholdende nu følger af , som anvendt på , og det faktum, at foreningen af alle sæt af kæden i (en "kæde af kæder") igen er et sæt af . $M$ $C_{0}$ $M$ $\mathfrak{M}$ $M$ $C_{0}$ $C_{0}$ $\mathcal{ZL}_3$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

IV.\;\mathcal{HM}_2 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_1

Naturligvis. er et særligt tilfælde, når den originale kæde er et tomt sæt . $\mathcal{HM}_1$ $\mathcal{HM}_2$ $\varnothing$

V.\;\mathcal{HM}_1 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_1

Lad være et delvist bestilt sæt i stand . Overvej en maksimal kæde i , hvis eksistens følger af . Ved antagelse har denne kæde en øvre grænse . Så er det maksimale element af , og hører desuden til kæden. Hvis vi antager det modsatte, når vi frem til en modsigelse med den maksimale betingelse . $M$ $\mathcal{ZL}_1$ $C$ $M$ $\mathcal{HM}_1$ ${\overline {a}}$ ${\overline {a}}$ $M$ $C$

Disse argumenter beviser ækvivalensen af Hausdorff-maksimumsprincippet og Zorns lemma.

Zermelos sætning

Udtalelse af Zermelos sætning ( Well Ordering Principle )

$\mathcal{WO}.$ Ethvert sæt kan godt bestilles.

\mathcal{ZL}_1 \Rightarrow \mathcal{WO}

Lad være et vilkårligt givet sæt. Lad os vise, at det kan bestilles helt. $M$

Overvej mængden af alle par , hvor og er den samlede ordrerelation på . På sættet introducerer vi en naturlig ordensrelation: følger , hvis der er et indledende segment , altså hvis forholdet for nogle og på mængden falder sammen med . $\mathfrak{M}$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A\subseteq M$ $\leqslant_A$ $EN$ $\mathfrak{M}$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $A = \{ a \i B: a < b\}$ $b\i B$ $EN$ $\leqslant_B$ $\leqslant_A$

Dernæst beviser vi to påstande.

I. Der er et maksimumelement i B. $\mathfrak{M}$ Dette følger af , at hvis er en kæde i , så er foreningen af alle elementer også et element , der er den øvre grænse af kæden . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $C \in \mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{C}$

II. Hvis er det maksimale element, så $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A=M$ . Hvis det ikke var tomt, ville vi få et velordnet sæt , hvis indledende segment er . Dette er i modstrid med den maksimale antagelse . $M \setminus A$ $b \i M \setminus A$ $b>a$ $a\i A$ $A\cup \{b\}$ $EN$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$

Vi har således et velordnet sæt . Q.E.D. $\langle M, \leqslant_M \rangle$

\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{HM}_1

Lad være et delvist bestilt sæt. I kraft af Zermelos sætning kan et sæt ordnes fuldstændigt. Lad være et velordnet forhold på . $\langle M, \preceq \rangle$ $M$ $\leqslant$ $M$

Vi definerer en opdeling af et sæt i to delmængder ved induktion på et velordnet sæt (denne metode kaldes også transfinit rekursion ). $M$ $C$ $\overline{C}$ $\langle M, \leqslant \rangle$

Lad og alle elementer er allerede enten henvist til eller til . Vi henviser til, hvis det er sammenligneligt med alle elementer af ; ellers henviser vi til . $en \i M$ $b<a$ $C$ $\overline{C}$ $-en$ $C$ $C$ $\overline{C}$

Ved at udføre den induktive konstruktion på et velordnet sæt på denne måde får vi sættene og . Som det ses af byggeriet er kæden i . Derudover er det klart, at det er maksimum. Dermed har vi bevist Hausdorff-maksimumsprincippet. $\langle M, \leqslant \rangle$ $C$ $\overline{C}$ $C$ $\langle M, \preceq \rangle$

Axiom of Choice

Formulering af det valgte aksiom .

$\mathcal{AC}.$ For hver familie af ikke-tomme sæt er der en valgfunktion , dvs. $\{S_{\alpha}\}, \alpha \i A$ $f$ $\forall\alpha\; f(\alpha) \in S_{\alpha}$

Det er tilstrækkeligt at bevise ækvivalensen af et af påstandene . Nedenstående er dog nogle beviser. $\mathcal{AC}$ $\mathcal{ZL}, \mathcal{HM}, \mathcal{WO}$

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

Se bogen af Hausdorff, eller Kurosh

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{HM}$

Begrundelsen ligner den, der er brugt i beviset . $\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

$\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Lad os bestille hver , og derefter definere valgfunktionen som minimumselementet i sættet: $\{S_{\alpha}\}$

f(\alpha) = \min S_{\alpha}

$\mathcal{ZL} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Se Kuroshs bog

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. - M . : "NAUKA", 1977. - 368 s.
Kolmogorov AN, Fomin SV Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse. - 7. udg. - M. : "FIZMATLIT", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Forelæsninger om generel algebra. - 2. udg. - M . : "NAUKA", 1973. - 400 s.
Hausdorff F. Sæteori. - 4. udg. - M. : URSS, 2007. - 304 s. - ISBN 978-5-382-00127-2 .