Verbal optælling

Mental konto - matematiske beregninger udført af en person uden hjælp fra yderligere enheder ( computer , lommeregner , abacus osv.) og enheder ( pen , blyant , papir osv.).

Processen med mental tælling

Processen med mental tælling kan betragtes som en tælleteknologi, der kombinerer menneskelige ideer og færdigheder om tal, matematiske aritmetiske algoritmer.

Der er tre typer af mental tælleteknologi , som bruger forskellige fysiske evner hos en person:

konto " på fingrene ";
lydmotor tælle teknologi;
visuel tælleteknologi.

Et karakteristisk træk ved audio-motorisk mental tælling er akkompagnementet af hver handling og hvert tal med en verbal sætning som "to gange to er fire". Det traditionelle tællesystem er netop audio-motor teknologien. Ulemperne ved audiomotormetoden til at udføre beregninger er:

fraværet i den huskede sætning af relationer med tilstødende resultater,
umuligheden af at adskille tiere og enheder af produktet i sætninger om multiplikationstabellen uden at gentage hele sætningen;
manglende evne til at vende sætningen fra svaret til faktorer, hvilket er vigtigt for at udføre division med en rest;
langsom afspilningshastighed af en verbal sætning.

Supercomputere, der demonstrerer høje tænkehastigheder, bruger deres visuelle evner og fremragende visuelle hukommelse. Folk, der er dygtige til hastighedsberegninger, bruger ikke ord i processen med at løse et aritmetisk problem i deres sind. De demonstrerer virkeligheden af den visuelle teknologi til mental tælling , blottet for den største ulempe - den langsomme hastighed til at udføre elementære operationer med tal.

Hovedregning i folkeskolen

Udviklingen af mentale tællefærdigheder indtager en særlig plads i folkeskolen og er en af hovedopgaverne i matematikundervisningen på dette trin [1] . Det er i de første år af træning, at de vigtigste metoder til mundtlige beregninger er lagt, som aktiverer elevernes mentale aktivitet, udvikler børns hukommelse, tale, evnen til at opfatte, hvad der siges ved øret, øger opmærksomhed og reaktionshastighed [1 ] .

For at lære børn at tælle bruges japansk kulerram ofte - soroban . Mange eksperter mener, at metoden til at tælle ved hjælp af asiatisk abacus (denne metode kaldes også hovedregning ) dukkede op i det gamle Kina, men der er ingen beviser for dette. Kulerammen var et tællebræt. Disse enheder blev brugt over hele verden, ikke kun i Kina [2] .

Et træningsprogram i hovedregning tager normalt flere år at gennemføre. Først lærer børn at regne med en rigtig kulerram. Så, i stedet for en rigtig tavle, begynder eleverne at bruge dets billede: Når du ser på tegningen under beregninger, skal du forestille dig, hvordan knoerne bevæger sig. Til sidst begynder børn at visualisere kulerammen, hvilket giver dem mulighed for mentalt at udføre de samme operationer som at bruge et rigtigt bræt. Mange eksperter mener, at hovedregning effektivt kan udvikle logisk tænkning, analytiske færdigheder og forbedre hukommelsen. Eleverne kan visualisere opgaver, forstå dem dybere og tænke kreativt. Disse færdigheder hjælper dem til bedre at koncentrere deres opmærksomhed, systematisere den erhvervede viden og bedre tilpasse sig ændrede forhold [2] .

Nogle undervisere og videnskabsmænd er dog lidt skeptiske over for denne metode. Så ifølge folkets lærer i Rusland Leonid Isakovich Zvavich er mental tælling en nyttig ting, men der er mange andre metoder til mental tælling, og det er svært at sige, hvilken der er bedre. Et barns succes med at lære afhænger i høj grad af, hvilken slags lærere han havde, men udviklingsaktiviteter hjælper ham selvfølgelig med at trække forskellige emner op [2] .

Men selv kritikere af denne metode indrømmer, at der stadig er en vis fordel ved hovedregning, især hvis matematik er svært for et barn. Derudover udvikler børn i læringsprocessen vanen med at arbejde, hvilket helt sikkert vil komme til nytte senere i livet [2] .

Simulatorer til mental tælling

Digitale pladespillere på en telefonmatrix.

Digitale pladespillere i basisversionen er to telefonpaneler, der kan drejes rundt om en central akse. Digitale pladespillere er mekaniske læremidler, der giver børn mulighed for i form af et spil at lære metoderne til geometrisk addition og multiplikation af encifrede decimaltal. Beskrevet i RF-patentet [3] .

Konstruktion af en digital pladespiller . Pladespillerens faste base er et plan med tegninger af tal arrangeret i formatet af en T-matrix med tre rækker og tre kolonner. Et roterende plan (propel) er overlejret på basen, hvorpå der er tegnet pile, der foreslår svar. Propellens rotationsakse falder sammen med midten af den faste T-matrix. Den eneste tilgængelige bevægelse er propellens rotation omkring aksen [4] .

Tilføjelse .

Funktionsprincippet for en digital pladespiller er som følger. Vi skriver summen af encifrede tal A+B=[D;E] i to cifre af tiere D og enheder E. Alle eksempler med samme værdi af udtrykket +B vil blive kaldt additionsarket .

Vi viser antallet af enheder E i additionseksemplet med en pil fra A til E. Denne pil kaldes sumenhedsindikator .

Pilene på tilføjelsesarket danner brudte lynlinjer .

Enhedsregel . Addition A + B udføres ved at flytte langs pilemarkøren vist på additionsarket (+B), fra tallet A til tallet E for sumenhederne.

2+1 eksempel . Du skal bruge et tilføjelsesark (+1). Indstil chip-label til nummer 2 på T-matrixen. Vi flytter chippen langs lynpilen, der kommer ud af punkt 2. Enden af markøren viser summen 3.

Eksempel 7+7 . Vi tager tilføjelsesarket (+7). Indstil chip-label til tallet 7 på T-matrixen. Vi flytter chippen langs "trin op"-pilen på det 7. lyn, der kommer ud af punkt A=7. Enden af markøren viser enhedscifferet E=4.

Anvend tierreglen . Hvis der er en inversion på enhedsindikatoren af summen A->E, altså A>E, så er tier-cifferet i summen D=1 [5] .

Multiplikation .

Lad os udføre følgende eksperiment med eksempler på multiplikation med 3 (det tredje multiplikationsark 3xB=[D;E]). Forestil dig, at vi er i centrum af en stor telefon T-matrix. Lad os med venstre hånd vise retningen fra midten til multiplikatoren B. Lad os lægge højre hånd til side og lave en ret vinkel med venstre hånd. Så vil højre hånd vise enhedscifferet E i 3xB multiplikationseksemplet [6] . Så reglen om enheder, når de ganges med 3 , er formuleret i to ord: "enheder til højre" (fra den radiale stråle af faktoren B).

Reglen for at dreje stråler (tal) på T-matrixen kan betragtes som en mnemonisk regel , praktisk til at huske alle eksempler på det 3. multiplikationsark. Hvis læreren beder om at beregne 3x7, vil eleven huske billedet af T-matrixen med de nødvendige stråler og læse svarnumrene fra det, kalde tallene i ord . Men i geometriske beregninger i sindet er der ikke behov for ord, da ord optræder i lommeregnerens sind efter billedet, hvor svarnumrene allerede er angivet. Samtidig med billedet, der vises i en persons hukommelse, er nummeret på resultatet allerede modtaget og realiseret.

Det skal bemærkes, at elementerne i billedet i visuel aritmetik er standardiserede, de kan betragtes som et sprog af visuelle billeder , hvis sekvens (svarende til algoritmen) svarer til at udføre beregninger. Billederne, der vises i hukommelsen, kan være dynamiske , som i en film, eller statiske , hvis både startdata og resultattallene er vist på det samme geometriske diagram. Ettrinsalgoritmer er at foretrække frem for flertrinsalgoritmer.

For at huske det rigtige billede for at få cifrene i svaret i et elementært eksempel, kræves et tidsinterval på 0,1-0,3 sekunder. Bemærk, at når man løser elementære eksempler på en geometrisk måde, er der ingen stigning i belastningen på psyken. Faktisk er den geometriske konto for en trænet lommeregner automatisk en højhastighedskonto.

Computer "på fingrene" .

Indikationen af radiale stråler ganget med 3 kan udføres med højre håndflade . Læg tommelfingeren på højre hånd til side, og klem hårdt sammen resten af fingrene. Lad os placere højre håndflade på midten af T-matricen og pege tommelfingeren mod multiplikatoren B. Så vil de resterende fingre på højre hånd vise antallet af enheder E af produktet 3xB=[D;E]). Så multiplikation med 3 er implementeret på telefonmatrixen med højrehåndsreglen ". For eksempel 3x2=6 [7] .

Tilsvarende: reglen for multiplikationsenheder med 7 er reglen for venstre hånd [8] .

Enhedsreglen for at gange med 9 er en fingerdeling [9] .

Andre geometriske regler for multiplikationsenheder kan vises i diagrammer, der har radiale stråler af T-matrixen [10] . I dette tilfælde udføres multiplikationen af lige tal på et lige kryds af cifre i T-matricen [11] . En vellykket simulator er mekaniske træningshjælpemidler - digitale pladespillere, der bruger en digital telefonmatrix [12] .

For at vise størrelsen af tierne af produktet AxB kan du bruge de trinvise modeller af multiplikationsark, hvis udseende og funktioner vi husker på samme måde som terrænet. Højden af hånden over basen (gulvet) viser værdien af tiere. Hvis D-tallet er større end 5, vil bunden af gulvet svare til D=5, og det øverste niveau af hånden vil svare til 9 [13] .

Fænomenale tællere

Fænomenet med særlige evner i mental tælling har eksisteret i lang tid. Som du ved, besad mange videnskabsmænd dem, især Andre Ampère og Karl Gauss . Evnen til hurtigt at tælle var dog også iboende hos mange mennesker, hvis erhverv var langt fra matematik og naturvidenskab generelt.

Indtil anden halvdel af det 20. århundrede var forestillinger af specialister i mundtlig tælling populære på scenen [14] . Nogle gange organiserede de demonstrationskonkurrencer indbyrdes, som også blev afholdt inden for murene af respekterede uddannelsesinstitutioner, herunder for eksempel Lomonosov Moscow State University [14] .

Blandt de velkendte russiske "super-tællere":

Aron Chikvashvili - "mirakeltæller" [15] [16] [17] [18]
Arrago [14]
David Goldstein [14]
Igor Shelushkov [15]
Gorny (Yashkov) Yuri Gavrilovich [19]
A. V. Nekrasov - "menneske-computer" [20] [21] [22] [23] [24]
Vladimir Kutyukov - "mand-kalender" [25] [26] [27] [28] [29] [30]

Blandt udenlandske:

Borislav Gadzhansky [15]
William Kline [15]
Jacques Inaudi [15]
Louis Fleury [15]
Mademoiselle Osaka [15]
Maurice Dagber [15]
Thomas Fuller [15]
Urania Diamondi [15]
Shakuntala Devi [15]
Yusnier Viera er en cubansk-amerikansk matematiker, fænomenal tæller , verdensrekordholder inden for mundtlig kalenderberegning [31] [32] .

Selvom nogle eksperter forsikrede, at det var et spørgsmål om medfødte evner [33] , argumenterede andre overbevisende for det modsatte: "pointen er ikke kun og ikke så meget i nogle exceptionelle," fænomenale "evner, men i viden om nogle matematiske love, der giver dig mulighed for hurtigt at foretage beregninger” og afslørede villigt disse love [14] .

Mentale tællekonkurrencer

I øjeblikket afholdes der i de baltiske lande, Slovenien og Ukraine , konkurrencer i mundtlig tælling blandt skolebørn under navnet Pranglimine ( Est. Pranglimine ). Siden 2004 har der været afholdt internationale konkurrencer blandt skolebørn og voksne. I 2016 blev konkurrencen afholdt i Murska Sobota (Slovenien) [34] [35] .

Siden 2004 er World Mental Computing Championship blevet afholdt hvert andet år [36] . Konkurrencer afholdes for at løse problemer som f.eks. at tilføje ti 10-cifrede tal (i henhold til reglerne i 2016 er der givet 7 minutter til denne opgave), gange to 8-cifrede tal på 10 minutter, beregne ugedagen iht. Gregoriansk kalender for en given dato fra 1600 til 2100 år (1 minut), kvadratroden af 6 cifre på 10 minutter (resultatet skal rapporteres med 8 decimaler). Vinderen i kategorien "Bedste universaltæller" bestemmes også ud fra resultaterne af at løse seks ukendte "problemer med en overraskelse". Ansøgningen er ledsaget af resultaterne i tankesport og resultatet i Memoriad-programmerne (fra memoriad.com [37] ), bekræftet af nogen (for eksempel en matematiklærer). Der er ingen aldersgrænse, og der skelnes ikke mellem kønnene. Deltageren starter hver opgave med kommandoen "Neurons: On the ready, go". Mesterskabet i 2018 blev afholdt den 28.-30. september 2018 på Phæno Science Center i Wolfsburg , Tyskland efter følgende regler [38] .

Memoriad [37] (Mental math + meMORy + olimpIAD) er en international olympiade i hovedregning, udenadslæsning og hurtiglæsning, der afholdes hvert 4. år (sammenfaldende i år med de olympiske sommerlege). Hovedregningsopgaver omfatter: gange 5-, 8- og 20-cifrede tal; dividere 10-cifrede tal med 5-cifrede; tage kvadratroden af et 6-, 8- og 10-cifret tal; tilføje 250 to -cifrede tal, der viser hvert tal 0,6 sekunder. Blandt andre opgaver: huske binære tal, decimaltal i en bestemt tid (fra 1 minut til 1 time).

Trachtenberg-metoden

Blandt dem, der praktiserer hovedregning, er bogen "Quick Counting Systems" af Zürich professor i matematik Jacob Trachtenberg meget populær [39] . Historien om dens skabelse er usædvanlig [15] . I 1941 kastede tyskerne den kommende forfatter ind i en koncentrationslejr . For at bevare sindets klarhed og overleve under disse forhold begyndte videnskabsmanden at udvikle et system med accelereret optælling. På fire år lykkedes det ham at skabe et sammenhængende system for voksne og børn, som han senere skitserede i en bog. Efter krigen oprettede og ledede videnskabsmanden Zürich Mathematical Institute [15] .

Hovedregning i kunsten

I Rusland, maleriet af den russiske kunstner Nikolai Bogdanov-Belsky " Mental Account. I S. A. Rachinskys folkeskole ”, skrevet i 1895. Opgaven på tavlen, som eleverne tænker på, kræver ret høje mentale tælleevner og opfindsomhed. Her er hendes tilstand:

${\frac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}$

Fænomenet med hurtig tælling af en autistisk patient afsløres i filmen " Rain Man " af Barry Levinson og i filmen " Pi " af Darren Aronofsky .

Nogle tricks til mental tælling

For at gange et tal med en enkeltcifret faktor (for eksempel 34×9) mundtligt, er det nødvendigt at udføre handlinger, begyndende fra det mest signifikante ciffer, og sekventielt tilføje resultaterne (30×9=270, 4×9=36 , 270+36=306) [40] .

For effektiv mental tælling er det nyttigt at kende multiplikationstabellen op til 19 × 9. I dette tilfælde udføres 147×8 multiplikationen mentalt som følger: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176 [40] . Men uden at kende multiplikationstabellen op til 19×9, er det i praksis mere praktisk at beregne alle sådanne eksempler ved at reducere multiplikatoren til grundtallet: 147×8=(150−3)×8=150×8−3 ×8=1200−24=1176 og 150×8=(150×2)×4=300×4=1200.

Hvis en af de multiplicerede dekomponeres i enkeltværdifaktorer, er det praktisk at udføre handlingen ved successivt at gange med disse faktorer, for eksempel 225×6=225×2×3=450×3=1350 [40] . Desuden kan 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350 være enklere.

Flere måder at tælle på:

Multiplicer med 10. Tildel nul til højre: 48 × 10 \u003d 480.

Multiplikation med 9. For at gange et tal med 9 skal du lægge 0 til multiplikatoren og trække multiplikaden fra det resulterende tal, for eksempel 45 × 9=450−45=405.

Det er mere praktisk at gange med 5 på denne måde: gange først med 10, og divider derefter med 2.

Gang med 11 tocifrede tal [N; EN]. Flyt tallene N og A fra hinanden, indtast summen (N + A) i midten.

for eksempel, 43×11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.

Når der ganges med 1,5, skal det multiplicerede deles i halvdelen og lægges til det gange, for eksempel 48 × 1,5 = 48/2 + 48 = 72. Kan anvendes ved multiplikation med 15 48 × 1,5 × 10 \u003d 720.

Kvadreringen af et tal på formen [N;5] (der slutter på fem) udføres i henhold til skemaet: vi multiplicerer N med N + 1, skriver det ned i hundreder og tildeler 25 til højre. Formel: [N; 5]x[N; 5] = [(Nx(N+1)); 2; 5].

Bevis: For eksempel, 65² = 6×7 og tildele 25 til højre, får vi 4225 eller 95² = 9025 (hundredevis af 9×10 og attribut 25 til højre). $(10\cdot N+5)\cdot (10\cdot N+5)=10^{2}\cdot N^{2}+2\cdot 5\cdot 10\cdot N+5^{2 }=100\cdot N^{2}+100\cdot N+25=100\cdot N(N+1)+25$

Tal, der er tæt på praktiske tal til multiplikation. kan kvadreres ved hjælp af en formel (f.eks. 42² = (42 + 2)(42 − 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). Du kan også gange tal, der har samme lille afstand fra praktiske tal, for eksempel: 23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 = 391. [41] ${\displaystyle A^{2}=(A+d)(Annonce)+d^{2))$

Se også

Noter

↑ 1 2 G. V. Dyudyaeva, N. V. Dolbilova Om indvirkningen af systemet med mundtlige øvelser på præstationer af yngre skolebørn i matematik // Lærer - studerende: problemer, søgninger, fund: Samling af videnskabelige artikler. Udgivelse 8
↑ 1 2 3 4 Kuzaev, Marat. Har børn gavn af hovedregning : [ arch. 24/07/2018 ] // TASS . - 2018. - 23. juli. — Dato for adgang: 06/06/2021.
↑ Den Russiske Føderations patent nr. 2406160, 2009. V. B. Curds Digitale pladespillere til addition, subtraktion, multiplikation og heltalsdeling ved hjælp af en telefon T-matrix
↑ T-matrix og lynlåskonstruktion. . Dato for adgang: 29. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 1. november 2013. (ubestemt)
↑ A. V. Tvorogov Digitale pladespillere i spillet metode til undervisning addition. . Hentet 30. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 30. oktober 2013. (ubestemt)
↑ Illustration af, hvordan man multiplicerer med 3. . Dato for adgang: 31. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 2. november 2013. (ubestemt)
↑ Illustration af multiplikation med 3. . Dato for adgang: 29. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 1. november 2013. (ubestemt)
↑ Illustration af multiplikation med 7. . Dato for adgang: 29. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 1. november 2013. (ubestemt)
↑ Illustration af multiplikation med 9. . Dato for adgang: 29. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 1. november 2013. (ubestemt)
↑ Enhedsregler for multiplikationstabellen på telefonmatrixen. . Hentet 30. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 30. oktober 2013. (ubestemt)
↑ Illustration af enhedsreglen for multiplikation. . Dato for adgang: 29. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 1. november 2013. (ubestemt)
↑ A. V. Tvorogov Digitale pladespillere som multiplikationsværktøj. . Hentet 30. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 30. oktober 2013. (ubestemt)
↑ A. V. Tvorogov "Computer på fingrene" i spilmetoden til at studere multiplikationstabellen. . Hentet 30. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 30. oktober 2013. (ubestemt)
↑ 1 2 3 4 5 Geni eller metode? Arkivkopi dateret 27. februar 2011 på Wayback Machine // A. Leonovich, Science and Life , N4 1979
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Mirakeltællere. Arkiveret 27. februar 2021 på Wayback Machine // Viktor Pekelis, Technique for Youth , N7 1974
↑ Mirakeltæller // Divo-90. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 1991. - S. 54. - 207 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ Mirakeltæller // Mirakel 93. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 s. — 100.000 eksemplarer. — ISBN 5-87012-008-X . .
↑ Miracle Counter // Book of Records "Lefty". - Moskva: Forlag "Hele Rusland", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 eksemplarer.
↑ Yu. Gornys officielle side . Hentet 20. september 2010. Arkiveret fra originalen 5. januar 2010. (ubestemt)
↑ Menneske-computer // Divo-90. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 1991. - S. 54. - 207 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ Menneske-computer // Divo 93. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 s. — 100.000 eksemplarer. — ISBN 5-87012-008-X . .
↑ Menneske-computer // Divo. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 1998. - S. 30. - 224 s. — 15.000 eksemplarer. - ISBN 5-87012-014-4 . .
↑ Menneske-computer // Divo. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 2001. - S. 29. - 287 s. — 10.000 eksemplarer. — ISBN 5-87012-017-9 . .
↑ Human-computer // Book of Records "Lefty". - Moskva: Forlag "Hele Rusland", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 eksemplarer.
↑ Mandskalender // Mirakel 93. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 s. — 100.000 eksemplarer. — ISBN 5-87012-008-X . .
↑ Mandskalender // Forunderlig. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 1998. - S. 30-31. — 224 s. — 15.000 eksemplarer. - ISBN 5-87012-014-4 . .
↑ Kalender i hovedet // Divo. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 2001. - S. 29-30. — 287 s. — 10.000 eksemplarer. — ISBN 5-87012-017-9 . .
↑ Kalender i hovedet // Divo. Mirakler. Optegnelser. Præstationer. - Moskva: "Divo", 2005. - S. 28-29. — 208 s. - ISBN 5-87012-023-3 . .
↑ Man-kalender // Book of Records "Lefty". - Moskva: Forlag "Hele Rusland", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 eksemplarer.
↑ Fantastiske mennesker. Sæson 4 8 udgave. Vladimir Kutyukov. YouTube Calendar Man
↑ Ung cubansk fjerdeplads i mentalregnings-olympiade. Arkiveret 11. marts 2012 på Wayback Machine
↑ Cubansk vidunderbarn er klar til endnu en Guinness Rekord. Arkiveret 11. marts 2012 på Wayback Machine
↑ "Jeg tror, at Kammerat. Goldstein D.N. er en lommeregner af højeste mærke ... Hans arbejde er udelukkende baseret på hukommelse og medfødte evner. Jeg er meget glad for, at min virksomhed har fundet en ret velfortjent efterfølger i ham.” R. S. Arrago, Moskva, 5. 11. 1929
↑ PRANGLIMINE. Arkiveret 5. marts 2010 på Wayback Machine (på estisk)
↑ Pranglimine ekspresfaktura. . Dato for adgang: 12. september 2010. Arkiveret fra originalen 30. januar 2009. (ubestemt)
↑ Alexander Khavronin . Nummer æder. Robert Fontaine tæller med til mesterskabet , Radio Liberty (8. december 2006). Hentet 29. september 2012.
↑ 12 Memoriad.com . _ Hentet 23. januar 2022. Arkiveret fra originalen 5. maj 2015. (ubestemt)
↑ Regler . Hentet 19. september 2018. Arkiveret fra originalen 19. september 2018. (ubestemt)
↑ Ya. Trachtenberg "Quick Counting Systems"
↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Hurtig tælling. Tredive enkle metoder til mental tælling.
↑ Arthur Benjamin - Den mentale matematiks hemmeligheder . Dato for adgang: 19. februar 2016. Arkiveret fra originalen 5. august 2017.

Litteratur

Bantova M. A. Systemet til dannelse af beregningsevner. //Begynde. skole - 1993. - nr. 11. - s. 38-43.
Beloshistaya A. V. Metode til dannelse af mundtlige computerfærdigheder inden for 100 // Grundskole. - 2001.- Nr. 7
Berman G.N. Tællemetoder, red. 6., Moskva: Fizmatgiz, 1959.
Borotbenko EI Kontrol af mundtlige computerfærdigheder. //Begynde. skole - 1972. - Nr. 7. - s. 32-34.
Vozdvizhensky A. Mental Computing. Regler og forenklede eksempler på handlinger med tal. — 1908.
Volkova SI., Moro MI Addition og subtraktion af tal med flere værdier. //Begynde. skole - 1998.-№ 8.-s.46-50
Voskresensky MP Metoder til forkortede beregninger: Heltal. - M .: Tipo-lit. W. Richter, 1905.- 39 s.
Wroblewski . Sådan lærer du at tælle nemt og hurtigt. - M.-1932. — 132 s.
Gol'dshtein D. N. Et forløb med forenklede beregninger. M.: Stat. pædagogisk-ped. udg., 1931.
Gol'dshtein D. N. Teknik til hurtige beregninger. M.: Uchpedgiz, 1948.
Gonchar D.R. Oral tælling og hukommelse: Gåder, udviklingsteknikker, spil // I lør. Oral optælling og hukommelse. Donetsk: Stalker, 1997. ISBN 966-596-057-7 .
Demidova T. E., Tonkikh A. P. Metoder til rationelle beregninger i grundskolen i matematik // Grundskole. - 2002. - Nr. 2. - S. 94-103.
Cutler E. McShane R. Trachtenberg Quick Counting System. - M.: Uchpedgiz. - 1967. - 150 s.
Lipatnikova I. G. Rollen af mundtlige øvelser i matematiktimer // Grundskole. - 1998. - Nr. 2.
Martel F. Metoder til hurtig optælling. — Pb. −1913. − 34 sek.
Martynov I. I. Mundtlig tælling for et skolebarn, hvad skalaer er for en musiker. // Folkeskole. - 2003. - Nr. 10. - S. 59-61.
Melentiev P. V. "Hurtige og mundtlige beregninger." Moskva: Gostekhizdat, 1930.
Perelman Ya. I. Hurtig score. L .: Soyuzpechat, 1945.
Pekelis V.D. Dine muligheder, mand!. - 4., revideret. og yderligere - Moscow: Knowledge, 1984. - 272 s. - 200.000 eksemplarer.
Robert Toquet "2 + 2 = 4" (1957) (engelsk udgave: The Magic of Numbers (1960)).
Sorokin A.S. Tælleteknik. M.: "Viden", 1976.
Sukhorukova A.F. Mere opmærksomhed på mundtlige beregninger. //Begynde. skole - 1975.- nr. 10. - s. 59-62.
Curds VB Visuel aritmetik og teknologi til hurtig optælling. M.: Bog 1: Grundlæggende. "Librocom", 2011. - 208 s. ISBN 978-5-397-01928-6 .
Faddeycheva T. I. Undervisning i Oral Computing // Grundskole. - 2003. - Nr. 10.
Faermark D. S. "Opgaven kom fra billedet." M.: "Videnskab".