Euler-Lagrange ligning

Euler-Lagrange-ligningerne (i fysik også Lagrange-Euler-ligningerne eller Lagrange-ligningerne ) er de grundlæggende formler for variationsregningen , ved hjælp af hvilke stationære punkter og ekstrema af funktionaler søges . Disse ligninger er især meget brugt i optimeringsproblemer og bruges sammen med princippet om handlingsstationaritet til at beregne baner i mekanik. I teoretisk fysik generelt er disse (klassiske) bevægelsesligninger i sammenhæng med at udlede dem fra et eksplicit skrevet udtryk for handlingen ( den lagrangiske ).

Brugen af Euler-Lagrange-ligningerne til at finde ekstremumet af en funktional svarer på en måde til brugen af differentialregningens sætning, som siger, at kun på det punkt, hvor den første afledede af en funktion forsvinder, kan en glat funktion have et ekstremum (i tilfælde af et vektorargument er gradienten af funktionen lig med nul, det vil sige afledet i forhold til vektorargumentet). Mere præcist er dette en direkte generalisering af den tilsvarende formel til tilfældet med funktionaler - funktioner af et uendeligt dimensionelt argument.

Ligningerne blev udledt af Leonhard Euler og Joseph-Louis Lagrange i 1750'erne .

Ordlyd

Lad det funktionelle

J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx

på rummet af glatte funktioner , hvor betegner den første afledte med hensyn til . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $f'$ $f$ $x$

Antag at integranden har kontinuerte første partielle afledte . Funktionen kaldes Lagrange-funktionen eller Lagrangian . $F(x,f(x),f'(x))$ $F$

Hvis den funktionelle når et ekstremum på en eller anden funktion , så skal den almindelige differentialligning være opfyldt for det $J$ $f$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))=0,

som kaldes Euler-Lagrange-ligningen .

Eksempler

Overvej et standardeksempel: find den korteste vej mellem to punkter på et plan. Svaret er naturligvis det segment, der forbinder disse punkter. Lad os prøve at få det ved at bruge Euler-Lagrange-ligningen, idet vi antager, at den korteste vej findes og er en jævn kurve .

Lad de punkter, der skal forbindes, have koordinater og . Derefter kan længden af stien, der forbinder disse punkter, skrives som følger: $(a,c)$ $(b,d)$ $y(x)$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.

Euler-Lagrange-ligningen for denne funktionelle har formen:

{\frac d{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} =0,

hvorfra har vi det

{\frac {dy}{dx}}=C\Højrepil y=Cx+D.

Dermed får vi en lige linje. I betragtning af at , , dvs. at den passerer gennem de oprindelige punkter, får vi det rigtige svar: et lige linjestykke, der forbinder punkterne. $y(a)=c$ $y(b)=d$

Multidimensionelle variationer

Der er også mange flerdimensionelle versioner af Euler-Lagrange-ligningerne.

Hvis er en sti i -dimensionelt rum, så leverer den et ekstremum til det funktionelle $q(t)$ $n$

J=\int \limits _{{t1}}^{{t2}}L(t,q(t),q'(t))\,dt

kun hvis den opfylder betingelsen

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0

\foralt k=1,2,\dots n

I fysiske applikationer, hvornår er en Lagrangian (betyder Lagrangian af et fysisk system; det vil sige, hvis J er en handling for det system), er disse ligninger de (klassiske) bevægelsesligninger for et sådant system. Denne påstand kan direkte generaliseres til tilfældet med uendelig-dimensionel q . $L$

En anden multivariat generalisering opnås ved at betragte en funktion af variable. Hvis er en (i dette tilfælde, n - dimensional) overflade, så $n$ $\Omega$

J=\int \limits _{{\Omega }}L(f,x_{1},\dots,x_{n},f_{{x_{1}}},\dots,f_{{x_{n} }})\,d\Omega ,

hvor er uafhængige koordinater, , , $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots,x_{n})$ $f_{{x_{i))}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$

leverer kun et ekstremum, hvis det opfylder den partielle differentialligning $f$

{\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{{i=1}}^{{n}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{{x_{i))))}=0.

Hvis og er energien funktionel, så kaldes dette problem "minimering af overfladen af sæbefilmen". $n=2$ $L$

En indlysende kombination af de to tilfælde beskrevet ovenfor bruges til at opnå bevægelsesligningerne for distribuerede systemer såsom fysiske felter, vibrerende strenge eller membraner og så videre.

Især i stedet for den statiske ligevægtsligning for en sæbefilm, givet som et eksempel i det foregående afsnit, har vi i dette tilfælde den dynamiske bevægelsesligning for en sådan film (hvis det selvfølgelig lykkedes at skrive ned handlingen for det, det vil sige den kinetiske og potentielle energi).

Historie

Euler-Lagrange-ligningen blev opnået i 1750'erne af Euler og Lagrange , mens de løste det isokrone problem. Dette er problemet med at bestemme kurven, som en tung partikel tager til et fast punkt på en fast tid, uanset udgangspunktet.

Lagrange løste dette problem i 1755 og sendte løsningen til Euler. Den senere udviklede Lagrange - metode og dens anvendelse i mekanik førte til formuleringen af Lagrange - mekanik . Forskernes korrespondance førte til skabelsen af variationsregningen (udtrykket blev foreslået af Euler i 1766 ).

Bevis

Udledningen af den endimensionelle Euler-Lagrange-ligning er et af de klassiske beviser i matematik. Den er baseret på hovedlemmaet i variationsregningen .

Vi ønsker at finde en funktion , der tilfredsstiller randbetingelserne og leverer et ekstremum til det funktionelle $f$ $f(a)=c$ $f(b)=d$

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.

Antag, at det har kontinuerte første afledte. Svagere betingelser er også tilstrækkelige, men beviset for den generelle sag er mere kompliceret. $F$

Hvis giver et ekstremum til det funktionelle og opfylder grænsebetingelserne, så skal enhver svag forstyrrelse , der bevarer grænsebetingelserne, øge værdien (hvis den minimerer den) eller mindske den (hvis den maksimerer den). $f$ $f$ $J$ $f$ $J$ $f$

Lad være enhver differentierbar funktion, der opfylder betingelsen . Lad os definere $\eta (x)$ $\eta (a)=\eta (b)=0$

J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)) \,dx.

hvor er en vilkårlig parameter. $\varepsilon$

Da det giver et ekstremum for , altså $f$ $J(0)$ $J'(0)=0$

J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\venstre[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f))+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\,dx=0.

Ved at integrere det andet led efter dele, finder vi det

0=\int \limits _{a}^{b}\venstre[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{ b}.

Ved at bruge randbetingelserne på får vi $\eta$

0=\int \limits _{a}^{b}\venstre[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.

Herfra, siden - enhver, følger Euler-Lagrange-ligningen: $\eta (x)$

{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.

Hvis vi ikke indfører grænsebetingelser på , så er transversalitetsbetingelserne også påkrævet: $f(x)$

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0

Generalisering til sagen med højere derivater

Lagrangian kan også afhænge af derivater af en højere orden end den første. $f$

Lad den funktionelle, hvis ekstremum skal findes, angives i formen:

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{{(n)}}( x))\,dx.

Hvis vi pålægger og pålægger dets afledte grænsebetingelser op til rækkefølgen inklusive, og også antager, at den har kontinuerte partielle afledte af ordenen [1] , så kan vi ved at anvende integration af dele flere gange udlede en analog af Euler -Lagrange-ligning for dette tilfælde også: $f$ $n-1$ $F$ $2n$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))+{\frac {d^{2} }{dx^{2))}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^ {n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{{(n))))))=0.

Denne ligning omtales ofte som Euler-Poisson-ligningen .

To Lagrangianere, der adskiller sig med en samlet afledt, vil give de samme differentialligninger, men den maksimale rækkefølge af afledte i disse Lagrangianere kan være forskellig. For eksempel . For at opnå en differentialligning for ekstremumet er det tilstrækkeligt at anvende den "almindelige" Euler-Lagrange-ligning på , og for , da det afhænger af den anden afledede, skal du bruge Euler-Poisson-ligningen med det tilsvarende udtryk: $L_{1}=(f^{\prime }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{{\prime \prime }}(x)~,~L_ {1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))$ $L_{1}$ $L_{2}$

{\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^ {{\prime \prime }}(x),

{\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^({\prime \prime }}}}=-2f^{{\prime \ prime}}(x),

og i begge tilfælde vil den samme differentialligning blive opnået . $-2f^{{\prime \prime }}(x)=0$

Noter

↑ A. M. Denisov, A. V. Razgulin. Almindelige differentialligninger (russisk) ? . Hentet 11. juni 2021. Arkiveret fra originalen 11. juni 2021. (ubestemt)

Litteratur

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimal kontrol. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder og anvendelser. — M.: Nauka, 1979
Elsgol'ts LE differentialligninger og variationsregningen. — M.: Nauka, 1969.
Zelikin M. I. Homogene rum og Riccati-ligningen i variationsregningen, - Facttorial, Moskva, 1998.
Zelikin M. I. Optimal kontrol og beregning af variationer, - URSS, Moskva, 2004.