Carathéodorisk ligning

Carathéodory-ligningen (opkaldt efter den tyske matematiker af græsk oprindelse Constantine Carathéodory ) er en almindelig differentialligning

{\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\i \mathbb {R } ^{n},\ n\geqslant 1,\quad(*)

hvor højre side (det vil sige komponenterne i vektorfunktionen ) ikke opfylder den klassiske betingelse, der sikrer eksistensen og unikheden af en løsning med en given begyndelsesværdi (kontinuitet i argumentsættet og Lipschitz-betingelsen i ), men en meget svagere tilstand kaldet Carathéodory tilstand : $f$ $x$

vektorfunktionen er defineret og kontinuerlig med hensyn til næsten alle (i betydningen af Lebesgue-målet ) i et område af rummet . $f$ $x$ $t$ $D$ $(t,\;x)$
vektorfunktionen er målbar med hensyn til for hver i domænet . $f$ $t$ $x$ $D$
for hvert afgrænset interval af aksen i regionen gælder uligheden, hvor er den summerbare (det vil sige Lebesgue-integrerbare ) funktion. $t$ $D$ $|f(t,\;x)|\leqslant m(t),$ $m(t)$

En løsning af Carathéodory-ligningen (*) med en startbetingelse er en målbar vektorfunktion, der opfylder integralligningen $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t),$

x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad ( **)

Integralet i (**) forstås i betydningen af Lebesgue-integralet for hver komponent af vektorfunktionen . Rigtigheden af definitionen er baseret på det faktum, at sammensætningen af en målbar funktion og en funktion, der opfylder Carathéodory-betingelsen, er en integrerbar funktion af variablen $f$ $x(t)$ $f(t,\;x)$ $t.$

Carathéodorys ligninger finder anvendelse på forskellige områder af matematikken. Derudover har de mange af de egenskaber, der ligger i klassiske ligninger med en kontinuerlig højre side.

Eksistens- og entydighedssætning

Lad os antage, at Caratheodory-betingelsen er opfyldt i regionen , så eksisterer der sådan , at ligningen (*) med startbetingelsen har en løsning på intervallet . Ethvert tal, der opfylder betingelserne, kan tages som ${\displaystyle D=\{t_{0}\leqslant t\leqslant t_{0}+a,\;|x-x_{0}|\leqslant b\))$ $a,\;b>0,$ $\delta>0,$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)$ $[t_{0},\;t_{0}+\delta ].$ $\delta$