Erdős-Anning teorem

Erdős-Anning-sætningen  er et udsagn om, at et uendeligt sæt punkter på en plan kun kan have heltalsafstande mellem mængdens punkter, hvis alle punkter ligger på én ret linje. Det er opkaldt efter Pal Erdős og Norman Herbert Anning , som offentliggjorde dets bevis i 1945 [ 1 ] . 

Rationel afstand

Selvom der ikke er et uendeligt sæt af punkter, der har heltals indbyrdes afstande, er der et uendeligt sæt af punkter, der ikke ligger på en ret linje, hvor afstandene er rationelle tal.

For eksempel er der på enhedscirklen et sæt punkter , som  er et rationelt tal. For sådanne punkter, og , og er rationelle. Lad og definere to punkter i , så er afstanden rationel.

Det er kendt, at en cirkel med en radius indeholder et tæt sæt af punkter med rationelle indbyrdes afstande, hvis og kun hvis den er rationel [2] .

For ethvert begrænset sæt af punkter med indbyrdes rationelle afstande, kan man finde et lignende sæt af punkter med heltals indbyrdes afstande ved at udvide (multiplicere afstandene med det mindste fælles multiplum af afstandsnævnerne). Der er således et vilkårligt stort sæt punkter i planet med heltalsafstande. Men tilføjelse af punkter til et sæt kan øge strækfaktoren, så en sådan konstruktion ikke gør det muligt at konvertere et uendeligt sæt af punkter med rationelle afstande til et uendeligt sæt af punkter med heltalsafstande.

Det er stadig uvist, om der eksisterer et sæt punkter med rationelle indbyrdes afstande, der er en tæt delmængde af det euklidiske plan [2] .

Bevis for sætningen

Lad sættet af punkter på flyet har heltals indbyrdes afstande og indeholder tre punkter , og , ikke liggende på en lige linje, de indbyrdes afstande mellem hvilke ikke overstiger . Lad os vise, at antallet af point i sættet ikke overstiger .

Lad , , og  være afstandene mellem punkterne , og . Lad være  ethvert andet punkt fra . Det følger af trekantens ulighed , at der  er et ikke-negativt heltal, der ikke overstiger . For hvert heltal mellem 0 og , danner lokuset af punkter, der opfylder ligheden , en hyperbel med og ved foci. Pointen må ligge på en af ​​disse hyperbler.

Af hensyn til symmetri, skal også ligge på en af ​​hyperblerne, der har og ved foci. Hvert af parrene af distinkte hyperbler, den ene defineret af punkterne og , og den anden af ​​punkterne med , kan skære hinanden ved maksimalt fire punkter, og hvert punkt fra ( inklusive og ) er et af skæringspunkterne. Der er et maksimum af skæringspunkter for par af hyperbler, og derfor et maksimum af punkter i sættet .

Således kan det sæt af punkter på planet, der ikke ligger på en lige linje og har heltals indbyrdes afstande, kun suppleres med et begrænset antal punkter. Sættet af punkter med heltalskoordinater og heltalsafstande, hvortil punkter ikke kan tilføjes, mens begge egenskaber bibeholdes, kaldes Erdős-Diophantus-grafen .

Noter

  1. ↑ Norman H. Anning, Paul Erdős. Integral afstande  // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1945. - Udgave. 51 , nr. 8 . — S. 598–600 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9 . Arkiveret fra originalen den 12. august 2007.
  2. ↑ 1 2 Victor Klee, Stan Wagon. Gamle og nye uløste problemer i plangeometri og talteori  // Cambridge University Press. - Dolciani matematiske udstillinger, 1991. - Vol. 11 . - S. 132-135 . — ISBN 978-0-88385-315-3 . Arkiveret fra originalen den 24. juni 2016.

Links