Poincarés sætning om klassificeringen af ​​cirklens homeomorfismer

I dynamisk systemteori beskriver Poincares teorem om klassificeringen af ​​cirklens homeomorfismer de mulige typer af reversibel dynamik på cirklen, afhængigt af rotationstallet f på det itererede kort. Groft sagt viser det sig, at dynamikken ved kortlægningsiterationer til en vis grad svarer til dynamikken ved rotation med den tilsvarende vinkel.

Lad nemlig en cirkel homeomorphism f gives. Derefter:

1) Rotationstallet er rationelt, hvis og kun hvis f har periodiske punkter . I dette tilfælde er nævneren af ​​rotationstallet perioden for et hvilket som helst periodisk punkt, og den cykliske rækkefølge på cirklen af ​​punkter i enhver periodisk bane er den samme som for punkterne i rotationsbanen på . Ydermere har enhver bane tendens til en periodisk både i fremadgående og tilbagegående tid ( - og -grænsebanerne kan være forskellige i dette tilfælde).

2) Hvis rotationstallet f er irrationelt, er to muligheder mulige:

i) enten f har en tæt bane, i hvilket tilfælde homeomorfien f er konjugeret til en rotation på . I dette tilfælde er alle baner af f tætte (da dette er sandt for en irrationel drejning ); ii) enten f har et Cantor invariant sæt C, som er det unikke minimale sæt af systemet. I dette tilfælde har alle baner tendens til C både fremad og tilbage. Desuden er afbildningen f semi-adjoint til rotationen ved : for nogle afbildninger h af grad 1,

Desuden er mængden C nøjagtigt sættet af vækstpunkter for h - med andre ord, fra et topologisk synspunkt kollapser h komplementintervallerne til C.

Se også

Links