Minimalitet (dynamiske systemer)

I teorien om dynamiske systemer kaldes et dynamisk system minimalt , hvis det ikke har nogen ikke-trivielle ( lukkede ) undersystemer.

Definitioner

Et dynamisk system kaldes minimal hvis for nogen lukket $(X,T)$

A\subset X,\quad T(A)=A

er enten tom eller matcher alle . $EN$ $x$

Da lukningen af enhver bane er et invariant sæt, kan definitionen omformuleres tilsvarende som følger: et dynamisk system er minimalt, hvis nogen af dets kredsløb er tæt overalt .

Også en invariant delmængde af systemets faserum kaldes et minimalt sæt, hvis systemets begrænsning til det er minimal. $Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$ $(X,T)$ $(Y,T|_{Y})$

Egenskaber

Det minimale system består enten af en enkelt bane eller har hverken faste punkter eller periodiske kredsløb.
Den minimale diffeomorfisme af en cirkel er ergodisk (Katka-Ehrman-sætningen).

Eksempler

Det irrationelle twist er minimalt.
Et skift med en konstant vektor på torussen er minimal, hvis og kun hvis koordinaterne for skiftvektoren og enhed er lineært uafhængige over . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $\mathbb {Q}$
En cirkeldiffeomorfisme er minimal, hvis og kun hvis den er konjugeret til en irrationel rotation.
Der er en Lebesgue-målbevarende diffeomorfisme af den todimensionelle torus, der er minimal, men ikke ergodisk ( Fürstenbergs eksempel ).

Litteratur

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion til den moderne teori om dynamiske systemer med gennemgang af de seneste præstationer / Pr. fra engelsk. udg. A. S. Gorodetsky. - M .: MTSNMO , 2005. - S. 42. - 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .