Ni punkts sætning på en kubisk kurve

9-punktssætningen på en kubisk kurve er en sætning i algebraisk geometri , der siger, at

Hvis 8 ud af 9 skæringspunkter af to tripler af lige linjer (i figuren til højre - blå og rød) ligger på en terning (kurve af tredje orden, sort) , så ligger den niende også på den.

Denne sætning er grundlaget for muligheden for at bestemme strukturen af en gruppe på en kubisk kurve.

Bevis

Nedenfor er et simpelt bevis, der kun bruger fakta om skolens læseplaner. Den består af tre dele: to lemmaer og selve sætningen.

Lemma 1

Hvis et polynomium i to variable ved et uendeligt antal punkter på en linje antager en nulværdi, så er det deleligt med denne linjes ligning, dvs. $P\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Lad os betegne . En ret linje er angivet i betingelsen, så enten , eller er ikke lig med 0. Vi vil antage, at dette er , så , og . På et direkte polynomium , men på samme tid kan det tage et uendeligt antal forskellige værdier, derfor , og dermed . ■ $z\,:=\,ax+by+c$ $-en$ $b$ $b$ $y={\frac {z-ax-c}{b}}=S\,(x,z)$ $P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x ,\,z)+R\,(x)$ $l:\,z=0$ $F\,(x,\,z)=R\,(x)=0$ $x$ $R\,(x)\ækvivalent 0$ $P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots \,z=ax+by+c$

Lemma 2

Hvis terningerne og skærer hinanden i tre punkter på linjen , så findes der et tal sådan, at . $P\,(x,\,y)$ $Q\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $t$ $P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

På samme måde som i Lemma 1 vil vi antage, at så gælder ligheden for punkterne på linjen , i lighed med . Polynomier og er lig med 0 på tre fælles punkter, deres grad er ikke højere end 3, så der er et sådant tal , at for alle punkter på denne linje. Ved at anvende Lemma 1 opnår vi den nødvendige påstand. ■ $b\neq 0$ $l$ $P\,(x,\,y)=P\,\venstre(x,\,-{\frac {ax+c}{b}}\right)=P_{1}\,(x)$ $Q\,(x,\,y)=Q_{1}\,(x)$ $P_{1}\,(x)$ $Q_{1}\,(x)$ $t$ $P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y)$

Bevis for sætningen

I det følgende vil parametrene for polynomier for kortheds skyld blive udeladt. Lad os betegne ligningen for den sorte terning som , de røde linjer som og , og den røde terning som . Tilsvarende for blå linjer og terninger . I dette tilfælde vil vi overveje nummereringen sådan, at det er nødvendigt at bevise, at skæringspunktet hører til terningen . $(x,\,y)$ $H$ $K_{1},K_{2}$ $K_{3}$ $K=K_{1}\cdot K_{2}\cdot K_{3}$ $S=S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Ved at anvende linjen og terningen og Lemma 2 får vi, at der findes et tal , som . På samme måde eksisterer der sådan , at . Så polynomiet af tredje grad er deleligt med og , Det vil sige . Polynomiet er lig med nul for alle punkter på linjen , linjer og generelle position, hvilket betyder, at det tager værdien 0 på nøjagtigt et punkt på linjen . Derfor er den lig med nul ved et uendeligt antal punkter på den rette linje , og ved Lemma 1 er den delelig med sin ligning. Således , hvilket betyder , hvor er et polynomium af grad ikke højere end den første, det vil sige en ret linje eller nul. $K_1$ $S$ $H$ $-en$ $Ha\cdot S\,\vdots \,K_{1}$ $b$ $Hb\cdot K\,\vdots \,S_{1}$ $A=Ha\cdot Sb\cdot K$ $K_1$ $S_{1}$ $A=A_{1}\cdot K_{1}$ $EN$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $A_{1}$ $S_{1}$ $A\,\vdots \,K_{1}\cdot S_{1}$ $A=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $Q$

Lad os antage, at det er en lige linje. Venstre side af ligheden er lig nul ved punkterne og , hvilket betyder, at en af de tre faktorer på højre side også er lig nul. Men linjerne går ikke gennem disse punkter, så de ligger alle på samme linje - . Men dette er umuligt. $Q$ $Ha\cdot Sb\cdot K=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $K_{2}\cap S_{3},K_{3}\cap S_{3}$ $K_{3}\cap S_{2}$ $K_1$ $S_{1}$ $Q$

Altså , hvilket betyder . Men kuberne og passerer gennem punktet , og derfor passerer kuben også gennem dette punkt. ■ $Q\ækvivalent 0$ $H=a\cdot S+b\cdot K$ $K$ $S$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Ansøgning

Ved hjælp af 9-punktssætningen bevises nogle fakta fra projektiv geometri simpelthen, såsom Pascals sætning :

Hvis en sekskant er indskrevet i et keglesnit , så ligger skæringspunkterne for tre par modsatte sider på den samme lige linje.

På figuren til højre er en sekskant med 3 røde og 3 blå sider indskrevet i en sort parabel . De røde og blå linjer skærer hinanden i 9 grønne punkter, hvoraf 6 ligger på en parabel, og en sort linje er trukket gennem de 2 andre. Da den sorte terning indeholder 8 grønne prikker dannet af skæringspunktet mellem de røde og blå terninger, indeholder den også den niende prik. Men dette punkt ligger ikke på parablen, hvilket betyder, at det hører til linjen. ■

Det kan også bruges til at bevise associativiteten af operationen med at tilføje punkter på en elliptisk kurve [1] . Nemlig hvis A , B , C , O hører til en kubisk kurve. For tre linjer BC , O (A + B) og A (B + C) ; og for de tre linjer AB , O (B + C) og C (A + B) . De næste otte punkter A, B, C, A + B, -A-B, B + C, -BC, O ligger på terningen. Derfor hører det niende punkt -A-(B+C)=-(A+B)-C til det.

Challs sætning

Challs sætning er en generalisering for det tilfælde, hvor der ikke tages tripler af linjer, men vilkårlige terninger [2] :

Hvis to terninger i projektivplanet har 9 fælles punkter, så passerer enhver anden terning, der passerer gennem 8 af dem, også gennem den niende.

Noter

↑ V. V. Ostrik, M. A. Tsfasman. Algebraisk geometri og talteori: Rationelle og elliptiske kurver . - M. : MTsNMO , 2001. - S. 20-24. — 48 sek. — (Matematisk uddannelse). — ISBN 5-900916-71-5 . Arkiveret 28. december 2010 på Wayback Machine
↑ D. Eisenbud, M. Green, J. Harris. Cayley-Bacharachs sætning og hypoteser . - 1996. Arkiveret 14. maj 2011 på Wayback Machine .

Se også

Cayley-Bacharach sætning
Kegle af ni punkter