Clairauts sætning

Clairauts sætning  er en lov, der beskriver forholdet mellem parametrene for en sfæroid , tyngdekraften på dens overflade og udvidelseskoefficienterne for gravitationspotentialet . Udgivet 1743 af den franske matematiker A. Clairaut i værket af fr.  Théorie de la figur de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique ("En teori om jordens form afledt af principperne for hydrostatik") [1] , hvor Clairaut leverede fysiske og geodætiske beviser for, at Jorden har formen af en oblat omdrejningsellipsoide [2] [3] . Mønsteret udledt af Clairaut gjorde det muligt at beregne parametrene for jordens ellipsoide baseret på målinger af tyngdekraften på forskellige breddegrader.

Clairauts formel for tyngdeaccelerationen g på jordens overflade ved breddegrad er som følger [4] [5] :

hvor G  er værdien af ​​tyngdeaccelerationen ved ækvator , m  er forholdet mellem centrifugalkraften og tyngdekraften ved ækvator, og f  er mængden af ​​oblateness af jordens ellipsoide, defineret som:

(hvor a  er den semi-hovedakse, b  er henholdsvis Jordens mindre halvakse).

Clairaut anså ovenstående formel som gyldig, forudsat at der overvejes en hydrostatisk ligevægtsmodel, hvor masserne er fordelt i form af tynde sfæroide lag [6] . Efterfølgende blødgjorde Pierre Laplace den oprindelige antagelse ved at antage, at overflader med samme tæthed er sfæroider [7] . J. Stokes i 1849 viste, at hvis planetens overflade er kendt, som er en plan overflade, der dækker alle masser, den planetocentriske gravitationskonstant og rotationsvinkelhastigheden også er kendt, så kan gravitationsfeltet entydigt bestemmes i ydre plads [8] .

Jordens faktiske form er resultatet af samspillet mellem tyngdekraften og centrifugalkraften forårsaget af Jordens rotation om sin akse [9] [10] . I sine " principper " foreslog Isaac Newton at betragte Jorden som en omdrejningsellipsoide med en oblatitetsfaktor f lig med 1/230 [11] [12] . Ved at anvende Clairauts teorem opnåede Laplace, baseret på 15 målinger af tyngdekraftens størrelse, et estimat: F = 1/330. Det moderne skøn over denne værdi er 1/298,25642 [13] .

Somiliana-ligningen

Ovenstående Clairaut-formel til at beregne størrelsen af ​​jordens tyngdekraft blev efterfølgende erstattet af den mere nøjagtige Somiliana- ligning (udledt af den italienske matematiker Carlo Somiliana):

hvor for Jorden: G = 9,7803267714 m/s² ; k = 0,00193185138639; e = 0,00669437999013 [14] .

Se også

Noter

  1. ↑ Fra kataloget over de videnskabelige bøger i Royal Societys bibliotek. . Hentet 3. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 3. juli 2014.
  2. ↑ Wolfgang Torge. Geodesy: En introduktion . — 3. - Walter de Gruyter , 2001. - S. 10. - ISBN 3-11-017072-8 . Arkiveret 3. juli 2014 på Wayback Machine
  3. ↑ Edward John Routh. En afhandling om analytisk statik med talrige eksempler  . - Adamant Media Corporation, 2001. - Vol. Vol. 2. - S. 154. - ISBN 1-4021-7320-2 . Arkiveret 19. april 2022 på Wayback Machine Et genoptryk af det originale værk udgivet i 1908 af Cambridge University Press.
  4. ↑ W.W. Rose Ball . En kort fremstilling af matematikkens historie (4. udgave, 1908) . Hentet 30. juli 2015. Arkiveret fra originalen 11. januar 2011.
  5. ↑ Walter William Rouse Ball. En kort redegørelse for matematikkens historie  (engelsk) . — 3. - Macmillan Publishers , 1901. - S. 384.
  6. ↑ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson. En lærebog i fysik, 4. udg . - London: Charles Griffin & Co., 1907. - S. 22-23.
  7. ↑ Isaac Todhunter. En historie om de matematiske teorier om tiltrækning og jordens figur fra Newtons tid til  Laplaces . — Elibron Classics. — Bd. Vol. 2. - ISBN 1-4021-1717-5 . Arkiveret 10. juni 2022 på Wayback Machine Reprint af den originale udgave af 1873 udgivet af Macmillan og Co.
  8. ↑ Stokes' sætning . Hentet 30. juli 2015. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016.
  9. ↑ John P. Vinti, Gim J. Der, Nino L. Bonavito. Orbital og himmelmekanik . - American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1998. - S. 171. - (Progress in astronautics and aeronautics, v. 177). — ISBN 1-56347-256-2 . Arkiveret 16. april 2022 på Wayback Machine
  10. ↑ Arthur Gordon Webster. Dynamikken af ​​partikler og af stive, elastiske og flydende legemer: at være forelæsninger om matematisk  fysik . - BG Teubner, 1904. - S. 468.
  11. ↑ Isaac Newton: Principia Bog III Proposition XIX Problem III, s. 407 i Andrew Motte-oversættelse.
  12. ↑ Se Principia online hos Andrew Motte Translation
  13. ↑ Tabel 1.1 IERS Numerical Standards (2003) )
  14. ↑ Lignende 2.57 i MIT Essentials of Geophysics OpenCourseWare-noter . Hentet 6. juli 2020. Arkiveret fra originalen 11. juli 2020.