Borsuk-Ulam teorem

Borsuk-Ulam-sætningen er en klassisk sætning om algebraisk topologi , der angiver, at enhver kontinuert funktion , der kortlægger en dimensionel kugle til et dimensionelt euklidisk rum for et par diametralt modsatte punkter har en fælles værdi. Uformelt er udsagnet kendt som "Temperature and Pressure Theorem": på ethvert givet tidspunkt er der antipodale punkter på Jordens overflade med samme temperatur og lige tryk [1] ; det endimensionelle tilfælde er normalt illustreret ved to diametralt modsatte punkter af ækvator med samme temperatur. $n$ $n$

Udsagnet støder på første gang af Lyusternik og Shnirelman i et papir fra 1930 [2] [3] ; det første bevis er udgivet i 1933 af Borsuk , der citerede Ulam som forfatteren til formuleringen.

Ordlyd

For en kontinuert funktion , hvor er en kugle i et dimensionelt euklidisk rum , er der to diametralt modsatte punkter, således at . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\mathbb S}^{n}$ $(n+1)$ ${\displaystyle a,-a\in \mathbb {S} ^{n))$ $f(a)=f(-a)$

Variationer og generaliseringer

Et ækvivalent udsagn er den fælles nulsætning : enhver ulige (med hensyn til den diametrale modsatte) kontinuerlig funktion fra -dimensional kugle til -dimensional euklidisk rum forsvinder i et af punkterne :. Ækvivalens etableres ved at indføre en ulige funktion for en kontinuerlig funktion . I det endimensionelle tilfælde følger den fælles nulsætning direkte af mellemværdisætningen ; det generelle bevis bruger Gurevich-isomorfismen (algebraisk-topologisk variant), eller er afledt af Tuckers lemma ( kombinatorisk variant; Tuckers lemma anses for at være en kombinatorisk analog af Borsuk-Ulam-sætningen). ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $n$ $n$ ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n))$ $g(a)=0$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $g(x)=f(x)-f(-x)$

I 1954 generaliserede Abram Ilyich Fet resultatet [4] : påstanden om sætningen gælder ikke kun for forholdet mellem antipoder, men også for en vilkårlig involution af en -dimensionel sfære, det vil sige for enhver involution og enhver kontinuert funktion er der sådan et punkt , at [5] [6] . $n$ ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n))$ $f(a)=f(a^{*})$

Noter

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementær topologi . - MCMNO, 2010. - 352 s. - ISBN 978-5-94057-587-0 . Arkiveret 19. februar 2012 på Wayback Machine
↑ L. A. Lyusternik, L. G. Shnirelman. Topologiske metoder i variationsproblemer // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics ved Moscow State University (special issue). - 1930.
↑ Jiri Matousek. Brug af Borsuk-Ulam-sætningen. - Berlin: Springer Verlag, 2003. - ISBN 3-540-00362-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-76649-0 .
↑ Kerin - Nudelman, 1983 , sovjetisk matematiker A. Fet, ved hjælp af subtile og stærke topologimidler, fandt ud af, at Borsuk-Ulam-sætningen (selv i dens dimensionelle version) forbliver gyldig, hvis en vilkårlig involution er givet på sfæren , s. 25. $n$ $S$ $P\to P'$
↑ A. I. Fet. En generalisering af Lyusternik-Shnirelman-sætningen om belægninger af sfærer og nogle relaterede sætninger // Dokl . - 1954. - T. 95 , nr. 6 . Arkiveret fra originalen den 25. januar 2020.
↑ A. I. Fet. Involutionære kortlægninger og dækninger af sfærer // Proceedings of the Seminar on Functional Analysis. - Voronezh Universitet , 1955. - Udgave. 1 .

Litteratur

K. Borsuk. Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre (tysk) // Fund. Matematik.. - 1933. - Bd. 20 . - S. 177-190 . $n$
FE Su. Borsuk-Ulam-sætningen indebærer Brouwers fikspunktssætning Borsuk—Ulam antyder Brouwer: A Direct Construction // Amer . Matematik. Månedlige. - 1997. - Bd. 104 . - S. 855-859 .
M. Crane , A. Nudelman . Borsuk-Ulam-sætningen, eller noget om vejr, en trænet hest og todimensionelle felter // Kvant . - 1983. - Nr. 8 . - S. 20-25 .