Superflip

"Superflip" ( eng.  superflip [1] ) eller 12-flip ( eng.  12-flip [2] ) [K 1] - Rubiks terningkonfiguration  , som adskiller sig fra den samlede tilstand ved, at hver af de 12 kantede terninger er drejet over på sin plads [1] . "Superflip" er et eksempel på "antipode" - en konfiguration, der kræver det maksimalt mulige antal ansigtsrotationer for at løse .

"Superflip" kaldes også en transformation (effekten af ​​at udføre en sekvens af ansigtsrotationer), som ændrer orienteringen af ​​hver af de 12 kantterninger til det modsatte, samtidig med at orienteringen af ​​hjørneterningerne og elementernes permutation bevares [3 ] .

I 1992 blev "superflip" nævnt i magasinet " Quantum " under navnet "reverse solitaire" [4] .

Egenskaber

"Superflip" er en af ​​fire konfigurationer, der har alle mulige symmetrier (de tre andre konfigurationer er Pons Asinorum , "superflip"-sammensætningen med Pons Asinorum og den indledende (samlede) konfiguration) [5] [6] [7] .

Sammen med identitetstransformationen går "superflip"-transformationen ind i midten af ​​Rubiks terninggruppe [8] [3] [9] :

Nogle egenskaber ved en "superflip" afhænger af, om ansigtsrotationen med 180° betragtes som 1 "bevægelse" ( FTM metrisk , engelsk  face turn metrisk ) eller 2 "bevægelser" (QTM metrisk, engelsk  quarter turn metrisk ) [K 2 ] .

Lokalt maksimum i QTM-metrikken

Hvis vi konstruerer Cayley-grafen ud fra gruppen af ​​Rubik-terningen med 12 generatorer svarende til rotationerne af puslespillets flader med 90°, så vil toppunktet på grafen svarende til "superflip" vise sig at være et lokalt maksimum : den er længere fra toppunktet svarende til den identiske transformation end nogen af ​​de 12 tilstødende toppunkter [10] [2] . Dette faktum var en af ​​grundene til at betragte "superflip" som en kandidat til en konfiguration, der er længst væk fra den oprindelige [10] .

Lad være enhver sekvens af ansigtsrotationer med 90°, hvis virkning er "superflip"-transformationen. Lad være den sidste ansigtsrotation kl . På grund af dens symmetri kan en "superflip" transformeres ved hjælp af rotationer og refleksioner til en sekvens af rotationer af flader af samme længde, der ender i enhver af de 12 tilladte rotationer. Således kan enhver af de 12 "naboer" af "superflip" opnås ved at anvende sekvensen uden den sidste rotation, det vil sige, at den er placeret 1 rotation tættere på den oprindelige konfiguration [2] .

Optimal løsning

I FTM-metrikken

I 1992 fandt Dick T. Winter [10] [7] [11] en løsning på "superflip" i 20 ansigtsvendinger, som i Singmasters notation kan skrives som [K 3] :

I 1995 beviste Michael Reed optimaliteten af ​​denne løsning i FTM-metrikken [10] [7] [12] . Med andre ord, hvis et træk tæller rotationen af ​​en af ​​siderne med 90° eller 180°, så består den korteste løsning på "superflip" af 20 træk [13] . "Superflip" var den første konfiguration med en kendt afstand fra den indsamlede tilstand, svarende til 20 "bevægelser" i FTM-metrikken [14] [5] .

I 2010 blev det vist, at enhver løselig puslespilskonfiguration ikke kan løses i mere end 20 ansigtsrotationer [14] . Forslaget om, at en "superflip" kan være en "antipode", dvs. at være i den størst mulige afstand fra den oprindelige konfiguration, blev det anført længe før etableringen af ​​" Gud-nummeret " af Rubiks terning [15] [16] .

I QTM-metrics

I 1995 fandt Michael Reid [17] [7] en løsning på "superflip" i 24 omgange gange 90°, hvilket kan skrives som [K 4]

Som Jerry Bryan viste i 1995, er der ingen kortere løsning i QTM-metrikken [17] [7] . Med andre ord, hvis vi tæller rotationen af ​​en af ​​siderne med 90° i et træk, så består den korteste løsning på "superflip" af 24 træk.

"Superflip" er ikke "antipode" i QTM-metrikken: der er konfigurationer, der kræver mere end 24 90° drejninger for at løse [18] . Imidlertid er "antipoden" i QTM-metrikken en anden relateret konfiguration - den såkaldte "firepunkts superflip" .

"Super Flip med fire point"

Fire - punkts transformationen påvirker centrene på  fire af de seks sider af puslespillet, og bytter hver af dem med midten af ​​den modsatte flade. "Fire punkter" kan defineres som effekten af ​​en sekvens af drejninger [19] [K 5]

Derefter opnås en  " superflip [sammensat] med fire-punkt [17]] ved successivt at anvende "superflip" og "fire-punkt" [19] transformationerne .

I 1998 viste Michael Reid, at afstanden mellem firepunkts superflip-konfigurationen og den indledende konfiguration i QTM-metrikken er præcis 26 [20] [21] [19] . "Fire-punkts superflip" var den første konfiguration med et bevist behov for at løse 26 træk i QTM-metrikken [21] .

I 2014 blev det vist, at enhver løselig konfiguration af Rubik's Cube kan løses i ikke mere end 26 90° rotationer af fladerne [21] .

Se også

Noter

  1. ↑ Ordet "flip" bruges til at henvise til operationen med at vende en kantterning på plads. Se for eksempel Singmaster, 1981 , s. 35, 72: "Thistlethwaite har vist, at 12-flip (dvs. flip af alle 12 kanter) ikke er i den undergruppe, der genereres af skive- og antislice-bevægelser."
  2. ↑ For metrics, se også Rubik's Cube Mathematics#Metrics of a Configuration Graph .
  3. ↑ Lucas Garron. FB U2 R F2 R2 B2 U' DF U2 R' L' U B2 D R2 U B2 U . alg.cubing.net .
  4. ↑ Lucas Garron. R' UUB L' F U' BDFU D' LDD F' R B' D F' U' B' U D' . alg.cubing.net .
  5. ↑ Lucas Garron. FFBBU D' RRLLU D' . alg.cubing.net .

Kilder

  1. ↑ 12 Joyner , 2008 , s. 75.
  2. ↑ 1 2 3 David Singmaster. Cubic Circular, Issue 5 & 6, s. 24 . Cubic Cirkulære . Jaap Scherphuis. Jaaps puslespilside (1982).
  3. ↑ 12 Joyner , 2008 , s. 99.
  4. ↑ V. Dubrovsky, A. Kalinin. Nyt om kubologi  // Kvant . - 1992. - Nr. 11 . Arkiveret fra originalen den 9. november 2014.
  5. ↑ 1 2 Herbert Kociemba. Symmetriske mønstre: Gruppen O h . "Der er fire terninger, som nøjagtigt har alle mulige symmetrier af terningen, en af ​​dem - Superflip - har brug for 20 træk for at blive genereret. Historisk set var dette den første terning, som har vist sig at have brug for 20 træk, og dette er stadig den bedste nedre grænse for terninggruppens diameter." Arkiveret fra originalen den 9. marts 2016.
  6. ↑ Jerry Bryan. Symm(x)=M (Fuldstændigt symmetriske mønstre) . Arkiveret fra originalen den 13. april 2016.
  7. ↑ 1 2 3 4 5 Michael Reid. M-symmetriske positioner . Rubiks terningside (24. maj 2005). Arkiveret fra originalen den 6. juli 2015.
  8. ↑ Jaap Scherphuis. Nyttig matematik (link ikke tilgængeligt) . Jaaps Puslespilside . Dato for adgang: 28. februar 2016. Arkiveret fra originalen 24. november 2012. 
  9. ↑ Singmaster, 1981 , s. 31.
  10. ↑ 1 2 3 4 Pochmann, 2008 , s. 16.
  11. ↑ Dik T. Winter. Kociembas algoritme . Cube Lovers (man. 18. maj 92 00:49:48 +0200).
  12. ↑ Michael Reid. superflip kræver 20 ansigtsdrejninger . Cube Lovers (ons, 18. jan. 95 10:13:45 -0500).
  13. ↑ Joyner, 2008 , s. 149.
  14. ↑ 1 2 Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, John Dethridge. Guds tal er 20 .
  15. ↑ Joyner, 2008 , s. 149: "I et stykke tid blev det gættet på, at superflip-positionen er den position, der er så langt fra 'start' (den løste position) som muligt."
  16. ↑ Singmaster, 1981 , s. 52-53: “I figuren vi er der en unik antipode til I, dvs. et punkt i maksimal afstand 3 fra I. <…> Holroyd spekulerer på, om hele gruppen af ​​kuben har en unik antipode. At løse dette kan kræve en fuldstændig beskrivelse af Guds algoritme (s. 34). Han foreslår, at enten 12-flip (s. 28,31,35,48) eller 12-flip kombineret med det almindelige 5-X mønster af skive-kvadratgruppen (s. 11,20,48) kan være en antipode. ".
  17. ↑ 1 2 3 Joyner, 2008 , s. 100.
  18. ↑ Joyner, 2008 , s. 100, 149.
  19. ↑ 1 2 3 Michael Reid. superflip sammensat med fire pletter . Cube Lovers (søn, 2. aug, 1998 08:47:44 -0400). Arkiveret fra originalen den 4. oktober 2015.
  20. ↑ Joyner, 2008 , s. 100-101.
  21. ↑ 1 2 3 Tomas Rokicki, Morley Davidson. Guds tal er 26 i Quarter-Turn Metric .

Litteratur