System af simultane ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. november 2018; checks kræver 3 redigeringer .

Et system af simultane ligninger er et sæt økonometriske ligninger (ofte lineære ), der bestemmer den indbyrdes afhængighed af økonomiske variabler. Et vigtigt kendetegn ved systemet af "samtidige" ligninger fra andre ligningssystemer er tilstedeværelsen af de samme variable i højre og venstre del af forskellige ligninger af systemet (vi taler om modellens såkaldte strukturelle form , se nedenunder).

Variabler kaldes endogene, hvis værdier bestemmes i processen med at fungere i det undersøgte økonomiske system. Deres værdier bestemmes "samtidigt" baseret på værdierne af nogle eksogene variabler, hvis værdier er bestemt uden for modellen, er sat udefra. I systemer med samtidige ligninger afhænger endogene variabler af både eksogene og endogene variable.

Måling af tætheden af forholdet mellem variable, konstruktion af isolerede regressionsligninger er ikke nok til at forklare komplekse økonomiske systemers funktion. En ændring i en variabel kan ikke forekomme, mens de andre forbliver absolut uændrede. Dens ændring vil medføre ændringer i hele systemet af indbyrdes forbundne funktioner. En enkelt regressionsligning kan således ikke karakterisere den sande indflydelse af individuelle træk på variationen af den resulterende variabel. Derfor har problemet med at beskrive strukturen af sammenhænge mellem et system af variabler indtaget en vigtig plads i økonomisk forskning.

Strukturel og reduceret form. Identificerbarhed

Den strukturelle form af et system er en systemrepræsentation, hvor mere end én endogen variabel kan være til stede i ligningerne (i standardnotation betyder det, at der er endogene variable på højre side af ligningerne, det vil sige som regressorer). Systemets strukturelle form beskriver systemet af indbyrdes afhængigheder mellem økonomiske variabler.

${\begin{cases}y_{1t}=\sum _{(i\not =1)}a_{1i}y_{it}+\sum _{j=1}^{q}b_{1j }x_{jt}+\varepsilon _{1t}\\y_{2t}=\sum _{(i\not =2)}a_{2i}y_{it}+\sum _{j=1}^{ q}b_{2j}x_{jt}+\varepsilon _{2t}\\...\\y_{pt}=\sum _{(i\not =p)}a_{pi}y_{it}+ \sum _{j=1}^{q}b_{pj}x_{jt}+\varepsilon _{pt}\\\end{cases}}$

Ved at overføre de endogene variable til venstre side kan den strukturelle form repræsenteres i følgende matrixform

$YA=XB+E$

Den reducerede (prædiktive) form af systemet er repræsentationen af systemet, hvor hver ligning kun har én endogen variabel, det vil sige, endogene variabler udtrykkes gennem eksogene:

$Y=X\Pi+U$

Dette er den såkaldte ubegrænsede reducerede form. Den strukturelle form kan skrives som følger:

${\displaystyle Y=XBA^{-1}+EA^{-1))$

Dette er den såkaldte begrænsede reducerede form, det vil sige en reduceret form med en begrænsning på koefficienterne for følgende form: . $\Pi =BA^{-1}$

Hvis der er givet en strukturel form, så er det altid muligt at opnå en begrænset reduceret form (det antages, at matrix A er ikke-degenereret). Det modsatte er dog ikke altid muligt, og hvis det er muligt, er det ikke altid entydigt.

En strukturel ligning kaldes identificerbar, hvis dens koefficienter kan udtrykkes i form af koefficienterne for den reducerede form. Hvis dette kan gøres på en enkelt måde, så siger de om nøjagtig identificerbarhed , hvis på flere måder - om overidentificerbarhed . Ellers kaldes det uidentificerbart. Overidentificering betyder faktisk, at der pålægges nogle restriktioner (overidentifikation) på koefficienterne for den reducerede form. I fuld reduceret form er alle eksogene variable involveret, og der er ingen begrænsninger på koefficienterne.

En nødvendig betingelse for identificerbarheden af en strukturlig ligning ( ordinal betingelse ): antallet af variable på højre side af ligningen må ikke overstige antallet af alle systemets eksogene variable . I den kanoniske form (når der ikke er nogen "venstre" og "højre" dele), er denne betingelse nogle gange formuleret som følger: antallet af eksogene variable, der er udelukket fra den givne ligning , må ikke være mindre end antallet af endogene variable inkluderet i ligning minus en. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, så er ligningen uidentificerbar. Hvis det udføres med et lighedstegn, så er det sandsynligvis positivt identificerbart, ellers er det overidentificerbart.

En tilstrækkelig betingelse for identificerbarheden af en strukturel ligning: rangeringen af matrixen sammensat af koefficienter (i andre ligninger) for variabler, der er fraværende i denne ligning, er ikke mindre end det samlede antal endogene variable i systemet minus én.

Eksempler

Den enkleste makroøkonomiske (keynesianske) model

${\begin{cases}C_{t}=a+bY_{t}+\varepsilon _{t}\\Y_{t}=C_{t}+I_{t}\end{cases))$

Her er C og Y forbrug (forbrug) og indkomst er endogene variable i modellen, I er investering er en eksogen variabel i modellen, b er den marginale forbrugstilbøjelighed

Den givne form af modellen ser sådan ud:

${\begin{cases}C_{t}=a/(1-b)+b/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0 }+(m-1)I_{t}+u_{t}=\pi _{11}+\pi _{12}I_{t}+u_{t}\\Y_{t}=a/(1 -b)+1/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0}+mI_{t}+u_{t}=\pi _{21} +\pi _{22}I_{t}+u_{t}\end{cases}}$

Værdien kaldes investeringsmultiplikatoren (en enhedsstigning i investeringen fører til en væsentlig større ændring i indkomsten). $m=1/(1-b)$

Man kan kontrollere den ordinære identificerbarhedstilstand. I den første ligning i højre side er der 1 endogen variabel og ingen eksogene variable (ignorerer konstanten). Der er 1 eksogene variable i modellen (også uden konstant). Dermed er den ordinære (nødvendige) betingelse for identificerbarhed opfyldt.

Det kan ses, at den reducerede form er begrænset med to begrænsninger og . $\pi _{11}=\pi _{21}$ $\pi _{22}-\pi _{12}=1$

Rekursive ligningssystemer

Et særligt tilfælde af systemer med samtidige ligninger er de såkaldte. rekursive systemer , hvor matrixen af koefficienter for endogene variable er trekantet (normalt lavere trekantet). Det betyder, at i den første ligning udtrykkes én endogen variabel kun gennem eksogene. I den anden, den anden endogen gennem eksogen og muligvis gennem den første endogen. Den tredje - gennem eksogen og gennem de to første endogene osv. En sådan model siges at være rent rekursiv , hvis derudover de tilfældige fejl i de forskellige ligninger er ukorrelerede.

Metoder til estimering af systemer af simultane ligninger

Den direkte anvendelse af den almindelige mindste kvadraters metode til at estimere ligningerne for et system (i strukturel form) er uhensigtsmæssig, da i systemer af simultane ligninger er den vigtigste betingelse for regressionsanalyse, eksogeniteten af faktorer, overtrådt. Dette fører til, at parameterestimater er partiske og inkonsistente .

Indirekte mindste kvadrater

Den almindelige mindste kvadraters metode kan anvendes på den reducerede form af systemet, da alle faktorer i denne form antages at være eksogene. Essensen af den indirekte metode for mindste kvadraters ( KMNK , ILS ) er at estimere de strukturelle koefficienter ved at indsætte deres afhængighed af de givne estimater af sidstnævnte i det analytiske udtryk, opnået ved den sædvanlige metode for mindste kvadrater. De opnåede skøn vil være konsistente.

Brugen af den indirekte metode med mindste kvadrater er kun mulig, hvis systemet er præcist identificerbart. Men ofte er systemets ligninger overidentificerede. I dette tilfælde er der flere asymptotisk ækvivalente, men forskellige estimater af de strukturelle formparametre, og i det generelle tilfælde er der ikke noget kriterium for at vælge mellem dem.

To-trins mindste kvadrater

Essensen af to-trins mindste kvadraters metode ( DMLS , TSLS , 2SLS ) er som følger:

Trin 1. Endogene variables afhængighed af alle eksogene variable estimeres ved hjælp af den sædvanlige mindste kvadraters metode (faktisk estimeres den ubegrænsede reducerede form).

Trin 2. Modellens strukturelle form estimeres ved hjælp af den ordinære mindste kvadraters metode, hvor man i stedet for endogene variabler anvender deres estimater opnået på første trin.

Med nøjagtig identificerbarhed af systemet falder LSLS estimaterne sammen med LSLS estimaterne.

Det kan vises, at LSSM-estimaterne af parametrene for hver ligning faktisk er ens:

${\hat {\beta }}_{TSLS}=(Z^{T}WZ)^{-1}Z^{T}WY~,~~W=X(X^{T}X) ^{-1}X^{T}$

hvor Z er matrixen af alle variable i højre side af denne ligning, X er matrixen af alle eksogene variable i systemet.

Tre-trins OLS

I to-trins mindste kvadraters metode evalueres faktisk hver ligning af strukturformen uafhængigt af andre ligninger, det vil sige, at det mulige forhold mellem tilfældige fejl i strukturformens ligninger ikke tages i betragtning. I tre-trins mindste kvadraters metode ( TMLS , 3SLS ) er de første to trin de samme som LSLS og tilføjer:

Trin 3. På basis af LMNC estimater af resterne af strukturelle ligninger opnås et estimat af kovariansmatrixen for vektoren af tilfældige fejl i systemet, og med dets hjælp opnås et nyt estimat af koefficienterne ved hjælp af de generaliserede mindste kvadraters metode .

Hvis der er korrelationer mellem ligningerne, bør LSLS estimaterne teoretisk være bedre end LSLS estimaterne.

Maksimal sandsynlighed metoder

Full Information Maximum Likelihood Method ( FIML ) er en metode, der bruger al information om begrænsningerne på modellens reducerede form.

' Begrænset information Maximum Likelihood Method ( LIML , Least Dispersion Ratio Method ) er designet til at estimere en enkelt ligning af et system. De resterende ligninger evalueres kun i det omfang, det er nødvendigt for at evaluere den givne ligning. Den første evalueres i en strukturel form, resten i en ubegrænset reduceret form, det vil sige, at ikke al tilgængelig information bruges i evalueringen. Denne metode er reduceret til at finde den minimale egenværdi af en bestemt symmetrisk matrix.

Test af systemer af samtidige ligninger

Test for overidentificering af begrænsninger

For at teste overidentificerende begrænsninger kan man bruge en likelihood ratio test med en statistik , der har en fordeling med antallet af frihedsgrader lig med antallet af begrænsninger. Systemets koncentrerede logaritmiske sandsynlighedsfunktioner op til en konstant har formen: $LR=2(l_{c}^{L}-l_{c}^{S})$ $\chi ^{2}$

$l_{c}=-{\frac {n}{2}}\ln |(YX\Pi )^{T}(YX\Pi )|$

hvor for en lang model ikke er begrænset, men for en kort . $\Pi$ $\Pi =BA^{-1}$

Noter

Se også

Litteratur

Ayvazyan S.A. Anvendt statistik. Grundlæggende om økonometri. Bind 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Kremer N.Sh., Putko B.A. Økonometri. - M . : Unity-Dana, 2003-2004. — 311 s. — ISBN 8-86225-458-7 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Økonometri. Indledende kursus. - M . : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Økonometri. Lærebog / Red. Eliseeva I.I. - 2. udg. - M. : Finans og statistik, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .

Selve udtrykket "system af simultane ligninger" er forkert. Og hvad, der er forskellige-tidsligninger? Det faktum, at dette analfabeter fra det engelske sprog har spredt sig gennem russisk litteratur (og endda økonometri-lærebøger), kan ikke tjene som en undskyldning. Det er nok at kigge i enhver engelsk-russisk matematisk ordbog for at se, at "simutane ligninger" er oversat som "ligningssystem". Betydningen af adjektivet "simutaneous" i det engelske udtryk er, at disse ligninger skal løses samtidigt, og ikke hver for sig (og slet ikke at disse ligninger er "simultane").