Eksternt uafhængige ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. maj 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Tilsyneladende uafhængige regressioner ( SUR) er et system af økonometriske ligninger , som hver er en uafhængig ligning med sine egne afhængige og forklarende eksogene variable. Modellen blev foreslået af Zelner i 1968. Et vigtigt træk ved disse ligninger er, at på trods af den tilsyneladende uafhængighed af ligningerne, antages deres tilfældige fejl at være korreleret med hinanden.

Matematisk model

Lad der være m økonometriske lineære ligninger , som hver kan skrives i matrixform som følger:

y_{i}=X_{i}b_{i}+\varepsilon _{i}~,~i=1,\ldots ,m

Det antages, at den tilfældige fejl i hver ligning opfylder de klassiske antagelser om fravær af heteroskedasticitet og autokorrelation , det vil sige, at kovariansmatrixen af vektoren af tilfældige fejl i hver ligning har formen: . Der kan dog være en sammenhæng mellem tilfældige fejl mellem ligninger (i samme observation). Derudover er varianserne af tilfældige fejl i forskellige ligninger generelt set ikke de samme. Lad os betegne kovarianserne mellem tilfældige fejl i forskellige ligninger . Så for hver observation har vektoren af tilfældige fejl i ligningerne en kovariansmatrix . $V(\varepsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}I_{n}$ $\sigma_{ij}$ $\Sigma =[\sigma _{{ij}}]$

Lad os introducere notationen

y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}~,

X={\begin{pmatrix}X_{1}&0&\ldots &0\\0&X_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &X_{m }\end{pmatrix}}~,

b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}~,

\varepsilon ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{m}\end{pmatrix}}

Så kan modellen repræsenteres i følgende form, svarende til den sædvanlige lineære regression:

y=Xb+\varepsilon

Kovariansmatricen for den tilfældige fejlvektor i en sådan model vil have en blokform, hvor hver af blokkene er lig med . Dette kan forenkles i form af en matrix ved hjælp af Kronecker-produktet : $\sigma _{{ij}}I_{n}$ $\Sigma$

V(\varepsilon )=\Sigma \otimes I_{n}

Vurderingsmetoder

Da hver antagelsesligning opfylder de klassiske antagelser, kan den sædvanlige mindste kvadraters metode bruges til at estimere deres parametre. Denne tilgang tager dog ikke højde for yderligere information om sammenhænge mellem ligninger. Mere effektive estimater kan opnås ved hjælp af den generaliserede mindste kvadraters metode :

{\hat {b}}_{{SUR}}=(X^{T}V^{{-1}}X)X^{T}V^{{-1}}y~,~V^{ {-1}}=\Sigma ^{{-1}}\nogle gange I_{n}

Imidlertid er problemet med at anvende den generaliserede LSM, som det er kendt, den ukendte kovariansmatrix af fejl, i dette tilfælde matrixen . Derfor bruges følgende to-trins tilgængelige generaliserede mindste kvadraters (FGLS) procedure. Ved det første trin anvendes den sædvanlige LSM, og resten af ligningerne findes. Baseret på disse residualer estimeres matrixen : og derefter anvendes den generaliserede LSM. Teoretisk kan proceduren fortsættes iterativt ved at bruge de nyligt opnåede residualer til at revurdere kovariansmatrixen og anvende de generaliserede mindste kvadrater. $\Sigma$ $\Sigma$ ${\hat \sigma }_{{ij}}=e_{i}^{T}e_{j}/n$

De således opnåede estimater er konsistente og asymptotisk normale. Det er klart, hvis matricen er diagonal, det vil sige, når de tilfældige fejl i forskellige ligninger ikke korrelerer med hinanden, vil sådanne estimater falde sammen med estimaterne af de sædvanlige mindste kvadrater. Det samme gælder, når alle ligninger indeholder det samme sæt af variable, dvs. $\Sigma$ $X_{1}=X_{2}=...=X_{m}$

Ud over disse grundlæggende tilgange er det også muligt at anvende maksimumsandsynlighedsmetoden under forudsætning af en normalfordeling af tilfældige fejl.

Eksternt uafhængige ligninger

Matematisk model

Vurderingsmetoder

Se også