Frit felt
Et frit felt er et fysisk felt, hvis kvanter er ikke-interagerende partikler, og som beskrives i form af energi og momentum. [1] Frie felter svarer til forskellige partikler, der repræsenterer grundlaget for at beskrive disse partikler inden for rammerne af teorien om interagerende felter. [2]
Beskrivelse
I klassisk fysik er et frit felt et felt, hvis bevægelsesligninger er givet af lineære partielle differentialligninger (PDE'er). [1] De har en unik løsning til en given starttilstand.
I kvantefeltteori er et kvantiseret felt matematisk beskrevet af generaliserede funktioner med operatorværdier et frit felt, hvis det opfylder en eller anden lineær PDE, således at det tilsvarende tilfælde af den samme lineære PDE for et klassisk felt vil være Euler -Lagrange-ligning for nogle kvadratiske Lagrangian . [1] Vi kan differentiere disse generaliserede funktioner ved at definere deres afledte i form af differentierede generaliserede funktioner . Se generisk funktion for flere detaljer. Da vi ikke har at gøre med almindelige generiske funktioner, men med generiske funktioner, med operatørværdier, er det klart, at disse PDE'er ikke er restriktioner på tilstande, men i stedet beskriver relationer mellem udvidede felter. Ud over PDE opfylder operatører også en anden relation, kommuterings- og antikommutationsrelationerne.
Kanonisk kommuteringsrelation
Typisk en kommutator (for bosoner ) eller en anti -kommutator for fermioner , for to udvidede felter er der produktet af tider i Peierls parentes feltet med sig selv (som er beskrevet af en virkelig generaliseret, ikke en almindelig funktion), for den partielle differentialligning af de generaliserede udvidede funktionsfelter. Matematisk er dette beskrevet af CCR og CAR algebraen .
CCR/CAR algebraer med uendeligt mange frihedsgrader har mange ikke-ækvivalente irreducerbare enhedsrepræsentationer. Hvis teorien er defineret over Minkowski-rum , kan vi vælge en enheds irreducerbar repræsentation indeholdende vakuumtilstanden , selvom dette ikke altid er nødvendigt.
Eksempel
Lad være en generaliseret funktion med en operatorværdi og PDE (Klein-Gordon):
.
Dette er det bosoniske felt. Definer en generaliseret funktion med Peierls-parenteser
Derefter,
hvor er det klassiske felt og er Peierls-parenteserne.
Derefter den kanoniske kommuteringsrelation
.![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0f9297fe8d6d53461b570599cbcc7891908537)
Bemærk, at det er en generaliseret funktion med to argumenter og kan udvides uendeligt.
På samme måde kunne vi insistere på det
![{\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu}\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\ }=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51848760784065569b2062c0879950a27fcfbc43)
hvor er den tidsordrende operator og og er adskilt af et rumlignende firedimensionalt interval .
.
![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6605eb8bee06db5e4bc1d0f9e20003a50fc5da41)
Se også
- Normal bestilling
- Wicks sætning (i kvanteelektrodynamik)
Noter
- ↑ 1 2 3 Thirring, 1964 , s. 53.
- ↑ Bogolyubov, 1957 , s. 26.
Litteratur
- Walter E. Thirring . Principper for kvanteelektrodynamik. - M . : Højere skole, 1964. - 226 s.
- N.N. Bogolyubov og D.V. Shirkov . Introduktion til teorien om kvantiserede felter. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1957. - 441 s.