Voigt profil

Voigt (centreret)
Hver sag har en fuld bredde i halv højde tæt på 3,6. De sorte og røde kurver er grænsetilfældene for henholdsvis Gauss- (γ =0) og Lorentzian (σ =0) profiler.Sandsynlighedstæthed
distributionsfunktion
Muligheder	$\gamma ,\sigma >0$
Transportør	$x\in (-\infty ,\infty )$
Sandsynlighedstæthed	${\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma { \sqrt {2}}}}}$
distributionsfunktion	(kompleks se tekst)
Forventet værdi	(udefineret)
Median	$0$
Mode	$0$
Spredning	(udefineret)
Kurtosis koefficient	(udefineret)
Genererende funktion af momenter	(udefineret)
karakteristisk funktion	$e^{-\gamma \|t\|-\sigma ^{2}t^{2}/2}$

Voigt-profilen eller Voigt- fordelingen (opkaldt efter Woldemar Vogt ) er en sandsynlighedsfordeling opnået ved at konvolvere Cauchy-Lorentz-fordelingen og Gauss -fordelingen . Det bruges ofte til analyse af spektroskopi eller diffraktionsdata .

Definition

Uden tab af generalitet kan kun centrerede profiler tages i betragtning, hvis top er nul. Så er Voigt-profilen defineret

V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(xx';\gamma )\,dx',

hvor x er offset fra positionen af linjens maksimum, er den centrerede Gauss-fordeling givet af $G(x;\sigma )$

G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2))))){\sigma {\sqrt {2\pi )) } },

og er den centrerede Lorentz-fordeling $L(x;\gamma )$

L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2)))))

Det bestemte integral kan vurderes som:

V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatørnavn {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),

hvor Re [ w ( z )] er den reelle del af Faddeeva-funktionen beregnet for det komplekse argument

z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2))))

I begrænsningstilfældene for og , forenkler det til hhv . $\sigma=0$ $\gamma =0$ $V(x;\sigma ,\gamma )$ $L(x;\gamma )$ $G(x;\sigma )$

Historie og applikationer

I spektroskopi beskriver Voigt-profilen foldningen af to udvidelsesmekanismer, hvoraf den ene giver en Gauss-fordeling (normalt som et resultat af Doppler-udvidelse ) og den anden en Lorentz-fordeling. Voigt-profiler er almindelige inden for mange områder relateret til spektroskopi og diffraktion . På grund af kompleksiteten i at beregne Faddeev-funktionen, er Voigt -profilen nogle gange tilnærmet ved hjælp af en pseudo-Voigt-fordeling.

Karakteristika

Voigt-profilen er normaliseret som alle distributioner:

\int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,

fordi det er en foldning af normaliserede sandsynlighedsfordelinger. Lorentz-profilen har ingen momenter (ud over nul momenter), så den momentgenererende funktion for Cauchy-fordelingen er ikke defineret. Det følger heraf, at Voigt-profilen heller ikke har nogen momentgenererende funktion, men den karakteristiske funktion for Cauchy-fordelingen er veldefineret, ligesom den karakteristiske funktion for normalfordelingen er . Så vil den karakteristiske funktion for den (centrerede) Voigt-profil være produktet af to karakteristiske funktioner:

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t |}.

Da normalfordelinger og Cauchy-fordelinger er stabile fordelinger , er hver af dem lukket under foldning (op til reskalering), og derfor følger det, at Voigt-fordelinger også er lukket under foldning.

Kumulativ distributionsfunktion

Ved at bruge ovenstående definition for z kan den kumulative distributionsfunktion (CDF) findes som følger:

F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0)){\frac {\operatørnavn {Re} (w(z))}{\ sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatørnavn {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )} ^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).

At erstatte definitionen af Faddeev-funktionen (skaleret kompleks fejlfunktion ) fører til et ubestemt integral

{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z ^{2}}\venstre[1-\operatørnavn {erf} (-iz)\right]\,dz,

som kan udtrykkes i form af særlige funktioner

{\frac {1}{\sqrt {\pi ))}\int w(z)\,dz={\frac {\operatørnavn {erf} (z)}{2))+{\frac { iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2)),2;-z^{2}\right) ,

hvor er den hypergeometriske funktion . For at få funktionen til at nærme sig nul, når x nærmer sig negativ uendelighed (som det skal for den kumulative fordelingsfunktion), skal der tilføjes en integrationskonstant på 1/2. Dette giver for Voigts KFR: ${}_{2}F_{2}$

F(x;\mu ,\sigma )=\operatørnavn {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatørnavn {erf} (z)}{2}} +{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{ 2}\right)\right].

Voigts ikke-centrerede profil

Hvis Gauss-profilen er centreret i punktet , og centrum af Lorentz-profilen er , så er foldningens centrale punkt , og den karakteristiske funktion er lig med $\mu _{G}$ $\mu _{L}$ $\mu _{G}+\mu _{L}$

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{ \mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.

Medianen er også placeret ved . $\mu _{G}+\mu _{L}$

Afledt profil

Profilerne af den første og anden afledte kan udtrykkes i form af Faddeeva-funktionen som følger

{\frac {\partial }{\partial x}}V(x;\sigma ,\gamma )=-{\frac {\operatørnavn {Re} [z~w(z)]}{\sigma ^ {2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatørnavn {Re} [w(z)]}{\sigma { \sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2))}{\frac {\operatørnavn {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt { 2\pi }}}};

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma ^{2 }-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatørnavn {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{ \frac {2x\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {\operatørnavn {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {1}{\pi )),

ved at bruge ovenstående definition for z .

Voigt funktioner

Voigt - funktionerne U , V og H (nogle gange kaldet linjeudvidelsesfunktionen ) er defineret som følger:

U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t))}e^{z^{2))\operatørnavn {erfc} (z)= {\sqrt {\frac {\pi }{4t))}w(iz),

H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi ))))),

hvor

z=(1-ix)/2{\sqrt {t)),

erfc er fejlfunktionen , og w ( z ) er Faddeeva-funktionen .

Relation til Voigt-profilen

Linjeudvidelsesfunktionen kan relateres til Voigt-profilen ved hjælp af udtrykket

V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma ),

hvor

a=\gamma /({\sqrt {2))\sigma )

u=x/({\sqrt {2}}\sigma ).

Numeriske tilnærmelser

Tepper-Garcia-funktionen

Tepper-Garcia- funktionen , opkaldt efter den tysk-mexicanske astrofysiker Thor Tepper-Garcia , er en kombination af en eksponentiel funktion og rationelle funktioner , der tilnærmer sig linjeudvidelsesfunktionen over en lang række af dens parametre [1] . Den opnås fra en trunkeret effektserieudvidelse af den nøjagtige linjeudvidelsesfunktion. $H(a,u)$

Fra et beregningsmæssigt synspunkt tager den mest effektive form for skrivning af Tepper-Garcia-funktionen formen

T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+ Q)-Q-1\right]\,,

hvor , , og . $P\equiv u^{2}$ $Q\equiv 3/(2P)$ ${\displaystyle R\equiv e^{-P))$

Linjeudvidelsesfunktionen kan således i første række betragtes som en ren Gaussisk funktion plus en korrektionsfaktor, der afhænger lineært af det absorberende mediums mikroskopiske egenskaber (indkodet i parameteren ); som følge af den tidlige trunkering af serien er fejlen ved en sådan tilnærmelse dog stadig af størrelsesordenen , dvs. Denne tilnærmelse har en relativ nøjagtighed $-en$ $-en$ $H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O))(a)$

\epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}

over hele bølgelængdeområdet , forudsat at . Ud over høj nøjagtighed er funktionen nem at skrive og også hurtig at beregne. Det er meget udbredt inden for analyse af absorptionslinjer for kvasarer [2] . $H(a,u)$ ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4))$ $T(a,u)$

Approksimation for Voigt pseudo-fordelingen

Approksimationen for Voigt-pseudofordelingen er en tilnærmelse af Voigt-profilen V ( x ) ved hjælp af en lineær kombination af Gauss-kurven G ( x ) og Lorentz-kurven L ( x ) i stedet for deres foldning .

Voigt pseudo-fordelingsfunktionen bruges ofte til at beregne den eksperimentelle profil af spektrallinjer .

Den matematiske definition af den normaliserede Voigt-pseudofordeling er givet af formlen

V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)

med .

0<\eta <1

hvor er en funktion af parameteren for fuld bredde ved halv højde (FWHM). $\eta$

Der er flere muligheder for at vælge parameteren [3] [4] [5] [6] . En simpel formel nøjagtig til 1 % [7] [8] er givet af $\eta$

\eta =1,36603(f_{L}/f)-0,47719(f_{L}/f)^{2}+0,11116(f_{L}/f)^{3},

hvor er en funktion af Lorentz ( ), Gaussisk ( ) og fuld bredde ( ) ved halv maksimum (FWHM). Fuld bredde ( ) er beskrevet af formlen $\eta$ $f_{L}$ $f_{G}$ $f$ $f$

f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{ G}^{2}f_{L}^{3}+0,07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.

Voigt profilbredde

Den fulde bredde ved halv maksimum (FWHM) af Voigt-profilen kan bestemmes ud fra bredderne af de tilsvarende bredder af Gauss- og Lorentz-fordelingen. Gaussprofilens bredde er

f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2))).

Bredden af Lorentziansk profil er lig med

f_{\mathrm {L} }=2\gamma .

En grov tilnærmelse for forholdet mellem bredderne af Voigt-, Gauss- og Lorentz-profilerne er skrevet som

f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.

Denne tilnærmelse er nøjagtigt sand for en rent gaussisk fordeling.

Den bedste tilnærmelse med en nøjagtighed på 0,02 % giver ligningen [9]

f_{\mathrm {V} }\ca. 0,5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^ {2}}}.

Denne tilnærmelse er nøjagtigt korrekt for en ren Gauss-profil, men har en fejl på omkring 0,000305% for en ren Lorentz-profil.

Noter

↑ Tepper-García, Thorsten (2006). "Voigt-profiltilpasning til kvasarabsorptionslinjer: en analytisk tilnærmelse til Voigt-Hjerting-funktionen". Månedlige meddelelser fra Royal Astronomical Society . 369 (4): 2025-2035. DOI : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x .
↑ Liste over citater fundet i SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations Arkiveret 13. december 2020 på Wayback Machine
↑ "Bestemmelse af det Gaussiske og Lorentziske indhold af eksperimentelle linjeformer". Gennemgang af videnskabelige instrumenter . 45 (11): 1369-1371. 1974. Bibcode : 1974RScI...45.1369W . DOI : 10.1063/1.1686503 .
↑ Sánchez-Bajo, F. (august 1997). "Brugen af Pseudo-Voigt-funktionen i variansmetoden til røntgenlinjeudvidelsesanalyse". Journal of Applied Crystallography . 30 (4): 427-430. DOI : 10.1107/S0021889896015464 .
↑ "Simpel empirisk analytisk tilnærmelse til Voigt-profilen". JOSA B. 18 (5): 666-672. 2001. Bibcode : 2001JOSAB..18..666L . doi : 10.1364/ josab.18.000666 .
↑ "Voigt-profilen som en sum af en gaussisk og en lorentzisk funktion, når vægtkoefficienten kun afhænger af breddeforholdet". Acta Physica Polonica A. 122 (4): 666-669. 2012. DOI : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 .
↑ "Udvidet pseudo-Voigt-funktion til tilnærmelse af Voigt-profilen" . Journal of Applied Crystallography . 33 (6): 1311-1316. 2000. doi : 10.1107/ s0021889800010219 .
↑ P. Thompson, D. E. Cox og J. B. Hastings (1987). "Rietveld forfining af Debye-Scherrer synkrotron røntgendata fra Al 2 O 3 ". Journal of Applied Crystallography . 20 (2): 79-83. DOI : 10.1107/S0021889887087090 .
↑ Olivero, JJ (februar 1977). "Empirisk passer til Voigts linjebredde: En kort gennemgang". Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 17 (2): 233-236. Bibcode : 1977JQSRT..17..233O . DOI : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 . ISSN 0022-4073 .

Litteratur

http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , et C numerisk bibliotek for komplekse fejlfunktioner, giver en voigt(x, sigma, gamma) funktion med cirka 13-14 cifre præcision.
Originalartikel: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (se også: http://publikation.de/003395768)