Gimlet regel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. december 2019; checks kræver 30 redigeringer .

Gimlet - regel ( skrueregel ) - enhver af de mange varianter af den mnemoniske regel til bestemmelse af retningen af vektorproduktet og det nært beslægtede valg af det rigtige grundlag [a] i tredimensionelt rum , aftalen om den positive orientering af basis i det, og følgelig tegnet for enhver aksial vektor bestemt af gennem orienteringen af basis.

Som regel betragtes valget af en af de to mulige retninger af den aksiale vektor som rent vilkårligt; det skal bare altid ske på samme måde, så tegnet ikke forveksles i det endelige resultat af beregningerne. Det er det, reglerne beskrevet i denne artikel er til for: De giver dig mulighed for altid at holde dig til det samme valg.

Anvendelse af reglen

Under navnet på højrehåndsreglen er der flere ret forskellige regler (inklusive en række varianter af "venstrehåndsreglen"). I praksis kan man begrænse sig til at vælge fra hele sættet af disse regler (eller lignende) i forskellige formuleringer af en, der tilhører en universel type: bestemmelse af tegnet for et vektorprodukt eller orienteringen af et grundlag.

Et sådant valg anses for at være det mindst nødvendige : uden mindst én version af "gimlet-reglen" er det ikke kun umuligt at følge almindeligt accepterede konventioner, men det er også ekstremt vanskeligt at opretholde konsistens selv i arbejdsberegninger. Samtidig er én version af reglen tilstrækkelig: I stedet for alle reglerne nævnt i denne artikel eller andre som dem [b] , kan du kun bruge én, hvis du kun kender rækkefølgen af faktorer i formler, der indeholder vektorprodukter.

Denne regel gælder især for at bestemme retningen [c] af så vigtige aksiale vektorer i fysik som vinkelhastighedsvektoren , der karakteriserer kroppens rotationshastighed, den magnetiske induktionsvektor B og mange andre, samt til at bestemme retningen af sådanne vektorer, som bestemmes gennem aksial , for eksempel retningen af induktionsstrømmen for en given vektor af magnetisk induktion.

For mange af disse tilfælde, ud over den generelle formulering, der gør det muligt at bestemme retningen af vektorproduktet eller orienteringen af grundlaget generelt, er der specielle formuleringer af reglen, meget mindre generelle, men godt tilpasset til den specifikke situation.

Generel (hoved) regel

Hovedreglen, der kan bruges både i varianten af gimlet (skrue) reglen og i varianten af højrehåndsreglen, er reglen for valg af retning for baser og vektorprodukt (eller endda for en af de to, da en er direkte bestemt gennem den anden). Den er den vigtigste, fordi den er tilstrækkelig til at blive brugt i alle tilfælde i stedet for alle andre regler, hvis blot man kender rækkefølgen af faktorerne i de tilsvarende formler.

Valget af en regel til bestemmelse af den positive retning af et vektorprodukt og for en positiv basis (koordinatsystem) i tredimensionelt rum er tæt forbundet.

Begge disse regler er rent vilkårlige, men det er sædvanligt (i det mindste medmindre andet udtrykkeligt er angivet) at antage, og dette er en alment accepteret konvention, at det rigtige grundlag er positivt , og vektorproduktet er defineret således, at for en positiv ortonormal basis (grundlaget for rektangulære kartesiske koordinater med enhedsskala i alle akser, bestående af enhedsvektorer i alle akser) [d] følgende: $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$

\vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z,

hvor det skrå kryds betegner operationen af vektormultiplikation.

Som standard er det almindeligt at bruge positive (og dermed rigtige) baser. Det er sædvanligt at bruge venstre baser hovedsageligt, når det er meget ubelejligt eller umuligt at bruge den højre (for eksempel, hvis vores højre basis reflekteres i spejlet, så er refleksionen en venstre basis, og der kan ikke gøres noget ved det) .

Derfor er reglen for krydsproduktet og reglen for at vælge (konstruere) et positivt grundlag indbyrdes konsistente.

De kan formuleres således:

For et vektorprodukt

Gimlet (skrue) regel for et vektorprodukt : "Hvis du tegner vektorerne, så deres begyndelse falder sammen og roterer den første faktorvektor på den korteste måde til den anden faktorvektor, så vil gimlet (skruen), der roterer på samme måde, skrue i retning af vektorværkerne".

(Med skrue og gimlet menes her en skrue med højregevind, som anses for den almindeligt anerkendte standard [e] , eller en gimlet også med højreskrue på spidsen, som også er langt størstedelen af ægte værktøjer).
Dette kan omformuleres med uret, da en højre skrue per definition er en, der drejer (fremad), når vi drejer den med uret .

En variant af gimlet (skrue) reglen for et vektorprodukt gennem et uret : "Hvis vi tegner vektorerne, så deres begyndelse falder sammen og roterer den første multiplikatorvektor på den korteste måde til den anden multiplikatorvektor og ser fra den anden side, så at denne rotation er med uret for os pil, vil vektor-produktet blive rettet væk fra os (skru dybt ind i uret).

Højrehåndsregel for krydsprodukt (første mulighed) : "Hvis du tegner vektorerne, så deres begyndelse falder sammen og roterer den første multiplikatorvektor på den korteste måde til den anden multiplikatorvektor, og fire fingre på højre hånd viser rotationsretningen (som om den dækker en roterende cylinder), så vil den udragende tommelfinger vise produktvektorens retning.

Højrehåndsregel for et vektorprodukt (anden mulighed) : "Hvis du tegner vektorerne, så deres begyndelse falder sammen og peger højre hånds første (tommelfinger) finger langs den første faktorvektor, den anden (indeks) langs den anden faktor vektor, så vil den tredje (midterste) vise (omtrent) retningen af vektorproduktet” (se figur).

Med hensyn til elektrodynamik er strømmen (I) rettet langs tommelfingeren, den magnetiske induktionsvektor (B) er rettet langs pegefingeren, og kraften (F) vil blive rettet langs langfingeren. Mnemonisk er reglen let at huske ved forkortelsen FBI (force, induction, current eller Federal Bureau of Investigation (FBI) oversat fra engelsk) og fingrenes position, der minder om en pistol.

For baser

Alle disse regler kan selvfølgelig omskrives for at bestemme orienteringen af baserne. Lad os kun omskrive to af dem:

Højrehåndsregel for basis : "Hvis i basis (bestående af vektorer langs x-, y- og z -akserne ), er den første (tommelfinger) finger på højre hånd rettet langs den første basisvektor (det vil sige langs x akse ), den anden (indeks) langs den anden (det vil sige langs y ), og den tredje (midten) vil være rettet (ca.) i retning af den tredje (langs z ), så er dette det rigtige grundlag (som det viste sig på figuren). $e_x, e_y, e_z$

Gimlet (skrue) regel for basis : "Hvis du roterer gimlet og vektorer, så den første basisvektor tenderer mod den anden på kortest mulig måde, så vil gimlet (skruen) skrue i retning af den tredje basisvektor, hvis dette er det rigtige grundlag.”

Alt dette svarer naturligvis til en udvidelse af den sædvanlige regel for valg af koordinatretningen på planet (x er til højre, y er op, z er på os). Sidstnævnte kan være en anden mnemonisk regel, der kan erstatte reglen om en gimlet, højre hånd osv., som vi ønsker at definere, og den kan udvides på enhver måde).

Udsagn om gimlet (skrue) reglen eller højrehåndsreglen for særlige tilfælde

Det blev nævnt ovenfor, at alle de forskellige formuleringer af gimlet (skrue) reglen eller højrehåndsreglen (og andre lignende regler), inklusive alle nævnt nedenfor, ikke er nødvendige. Det er ikke nødvendigt at kende dem, hvis du kender (i det mindste i en af mulighederne) den generelle regel beskrevet ovenfor, og du kender rækkefølgen af faktorer i formler, der indeholder et vektorprodukt.

Imidlertid er mange af reglerne beskrevet nedenfor godt tilpasset til specielle tilfælde af deres anvendelse og kan derfor være ret praktiske og nemme at hurtigt bestemme retningen af vektorerne i disse tilfælde [f] .

Reglen for højre hånd eller gimlet (skrue) for mekanisk hastighedsrotation

Højrehånds- eller gimlet (skrue) regel for vinkelhastighed

Det er kendt, at hastighedsvektoren for et givet punkt er forbundet med vinkelhastighedsvektoren og vektoren trukket fra et fast punkt til et givet, som deres krydsprodukt: ${\vec {v}}$ $\vec\omega$ ${\vec {r))$

\vec v = \vec \omega \times \vec r.

Det er derfor klart, at skruereglen og højrehåndsreglen beskrevet ovenfor for krydsproduktet er anvendelige til at bestemme retningen af vinkelhastighedsvektoren. Men i dette tilfælde kan reglerne formuleres på en endnu enklere og mere mindeværdig måde, da vi taler om en meget reel rotation:

Gimlet (skrue) regel: "Hvis du drejer skruen (gimlet) i den retning, kroppen roterer, vil den skrue (eller skrue af) i den retning, som vinkelhastigheden er rettet i."

Højrehåndsregel: "Hvis vi forestiller os, at vi tog kroppen i vores højre hånd og roterer den i den retning, hvor fire fingre peger, så vil den udragende tommelfinger pege i den retning, hvor vinkelhastigheden er rettet under en sådan rotation."

Reglen for højre hånd eller gimlet (skrue) for vinkelmomentum

Reglerne for bestemmelse af vinkelmomentets retning er fuldstændig ens , hvilket ikke er overraskende, da vinkelmomentet er proportionalt med vinkelhastigheden med en positiv koefficient [g] .

Reglen for højre hånd eller gimlet (skrue) for kræfternes øjeblik

For kræfternes øjeblik (drejningsmoment)

\vec M = \sum_i [\vec r_i\times\vec F_i]

reglerne er også generelt ens, men vi formulerer dem eksplicit.

Gimlet (skrue) regel: "Hvis du drejer skruen (gimlet) i den retning, hvori kræfterne har tendens til at dreje kroppen, vil skruen skrue (eller skrue af) i den retning, hvori disse kræfters moment er rettet."

Højrehåndsregel: "Hvis vi forestiller os, at vi tog kroppen i vores højre hånd og forsøger at dreje den i den retning, hvor fire fingre peger (kræfterne, der forsøger at dreje kroppen, er rettet i retning af disse fingre), så den udragende tommelfinger vil pege i den retning, hvor den er rettet moment (moment af disse kræfter).

Reglen for højre hånd og gimlet (skrue) i magnetostatik og elektrodynamik

Til magnetisk induktion ( Biot-Savart lov )

Gimlet (skrue) regel: "Hvis retningen af den translationelle bevægelse af gimlet ( skrue ) falder sammen med retningen af strømmen i lederen, så falder rotationsretningen af gimlet håndtaget sammen med retningen af den magnetiske induktionsvektor af feltet skabt af denne strøm."

Højrehåndsregel: "Hvis du tager fat i lederen med din højre hånd, så den udragende tommelfinger indikerer retningen af strømmen, så vil de resterende fingre vise retningen af konvolutterne på lederen af linjerne med magnetisk induktion af det skabte felt af denne strøm, og dermed retningen af vektoren for magnetisk induktion , rettet overalt tangentielt til disse linjer."

For solenoiden

Højrehåndsregel: "Hvis du tager fat i solenoiden med din højre hånd, så fire fingre er rettet langs strømmen i svingene, så vil tommelfingeren, der er sat til side, vise retningen af magnetfeltlinjerne inde i solenoiden."

For strøm i en leder, der bevæger sig i et magnetfelt

Reglen for højre hånd: "Hvis højre hånds håndflade er placeret således, at den omfatter magnetfeltets kraftlinjer, og den bøjede tommelfinger er rettet langs lederens bevægelse, så vil fire fingre strakt indikere retning af induktionsstrømmen."

Til Maxwells ligninger

Da rotoroperationen (betegnet rot ), der bruges i de to Maxwell-ligninger, formelt kan skrives som et vektorprodukt (med nabla- operatoren ), og vigtigst af alt, fordi krøllen af et vektorfelt kan sammenlignes (er en analogi) med vinkelen rotationshastighed [h] af en væske, hvis strømningshastighedsfelt repræsenterer et givet vektorfelt, kan vi bruge til rotoren de formuleringer af reglen, der allerede er blevet beskrevet ovenfor for vinkelhastigheden.

Således, hvis du drejer gimlet i retning af det hvirvlende vektorfelt, så vil det skrue i retning af rotorvektoren i dette felt. Eller: hvis du peger med de fire fingre på din højre hånd, knyttet til en knytnæve, i retning af hvirvelen, så vil den bøjede tommelfinger vise rotorens retning.

Herfra følger reglerne for loven om elektromagnetisk induktion , for eksempel: "Hvis du peger med højre hånds bøjede tommelfinger på retningen af den magnetiske flux gennem kredsløbet, hvis den stiger, og den modsatte retning, hvis den aftager, så vil de bøjede fingre, der dækker kredsløbet, vise den modsatte retning (fra - for minustegnet i formlen) til retningen af EMF i dette kredsløb, induceret af den skiftende magnetiske flux.

Reglerne for Ampère-Maxwell-loven falder generelt sammen med reglerne givet ovenfor for vektoren af magnetisk induktion skabt af strømmen, kun i dette tilfælde er det nødvendigt at tilføje til den elektriske strøm gennem kredsløbet strømmen af ændringshastigheden af det elektriske felt gennem dette kredsløb og tal om magnetfeltet i form af dets kredsløbscirkulation.

Venstrehåndsregler

Første regel i venstre hånd

Hvis venstre håndflade er placeret således, at magnetfeltets induktionslinjer kommer ind i den indvendige side af håndfladen, vinkelret [i] på den, og fire fingre er rettet langs strømmen, sættes tommelfingeren til side med 90 ° vil angive retningen af kraften, der virker fra magnetfeltet på lederen med strøm. Denne kraft kaldes Ampère-kraften . Det er venstrehåndsreglen for strømmen

Den anden regel for venstre hånd

Hvis ladningen bevæger sig, og magneten er i ro, så gælder venstrehåndsreglen for at bestemme retningen af kraften: "Hvis venstre hånd er placeret således, at magnetfeltets induktionslinjer kommer ind på indersiden af håndfladen vinkelret på den, og fire fingre er rettet langs strømmen (positivt langs den bevægelsesladede partikel eller mod bevægelsen af en negativt ladet), så vil tommelfingeren, der er sat til side med 90°, vise retningen af den virkende kraft af Lorentz eller Ampère .

Eksempler

Se også

Kommentarer

↑ Matematiske detaljer om det generelle begreb om orientering af grundlaget, som diskuteres her, se artiklen Orientering .
↑ Det betyder, at andre regler også kan være praktiske i et hvilket som helst antal, men det er ikke nødvendigt at bruge dem.
↑ Definitionen af retningen her betyder overalt valget af en af to modsatte retninger (valget mellem kun to modsatte vektorer), det vil sige, det kommer ned til valget af en positiv retning.
↑ Du kan kontrollere, at dette generelt er sandt, baseret på den elementære definition af et vektorprodukt: Et vektorprodukt er en vektor vinkelret på begge faktorvektorer og lige i størrelse (længde) med arealet af et parallelogram . Det samme, hvilken af de to mulige vektorer vinkelret på de to givne, at vælge - og der er emnet for hovedteksten, reglen, der tillader dig at gøre dette og supplerer definitionen, der er givet her, er angivet der.
↑ Venstregevindet bruges i moderne teknologi kun, når brugen af et højregevind ville føre til fare for spontan afskruning under påvirkning af den konstante rotation af denne del i én retning - for eksempel en venstrehånds gevind bruges i venstre ende af en cykelhjulaksel. Derudover bruges venstregevind i regulatorer og brændbare gasflasker for at undgå at forbinde en brændbar gasregulator til iltflasken .
↑ Især kan de i deres tilfælde være mere bekvemme end den almindelige regel, og endda nogle gange formuleret organisk nok til at være særligt nemme at huske; hvilket dog ikke ser ud til at gøre det nemmere at huske dem alle end blot at huske én generel regel.
↑ Selv hvis vi har at gøre med et ret asymmetrisk (og asymmetrisk placeret i forhold til rotationsaksen) legeme, således at proportionalitetskoefficienten mellem vinkelhastigheden og vinkelmomentet er inertietensoren, som ikke kan reduceres til en numerisk koefficient , og vinkelmomentvektoren er da generelt set ikke parallel med vinkelhastighedsvektoren, dog fungerer reglen i den forstand, at retningen er angivet tilnærmelsesvis, men dette er nok til at vælge mellem to modsatte retninger.
↑ Strengt taget er der med denne sammenligning også en konstant koefficient på 2, men det er ikke vigtigt i dette emne, da vi nu kun taler om vektorens retning og ikke om dens størrelse.
↑ Ikke et krav.