Ampère-Maxwell lov

Overvej specifikt kredsløbet vist i diagrammet, der indeholder en kondensator [2] .

For eksempel kan det være et simpelt oscillerende kredsløb, som på figuren (kondensatoren er angivet på den som C , og L er en induktor). (Faktisk vil vi kun være interesseret i den del af kredsløbet nær kondensatoren, og resten af ​​kredsløbet er ikke vigtigt, det vil sige, i stedet for L , kan der kun være en ledning [3] , eller den kan indeholde enhver enhed, der kan (automatisk eller manuelt) ændre strømmen, der flyder ind i en kondensator, for eksempel kan det være et elektrisk batteri med en kontakt. Vi vil for nemheds skyld antage, at mellemrummet mellem kondensatorpladerne ikke indeholder et medium, der er i stand til at polarisere , det vil sige, det er vakuum (eller f.eks. luft, hvis polariserbarhed kan negligeres med god nøjagtighed).

Her kan vi med andre ord begrænse os til kun at overveje denne del af kæden:

Nu kan vi begynde at analysere arbejdet med Ampère-formlen i dette særlige eksempel af vores.

1. Konsistens af den oprindelige sætning i vores eksempel for tilfældet med jævnstrøm:

I tilfælde af den pålagte tilstand af konstant strøm i kredsløbet viser det sig, at strømmen gennem kondensatoren simpelthen ikke kan strømme. Faktisk, hvis strømmen, der strømmer til kondensatorpladerne, ikke ændrer sig med tiden, vokser ladningen på pladerne til det uendelige, hvilket naturligvis er fysisk meningsløst, og denne mulighed kan sikkert udelukkes fra overvejelse [4] . Således virker Amperes sætning åbenbart i dette tilfælde, da der ikke er strømme og magnetfelter, dvs. venstre og højre side af ligningen

kun nul [5] .

Alt ændrer sig dog dramatisk, når vi overvejer vekselstrømme (som selvfølgelig er mulige i virkeligheden). Denne formel begynder at give inkonsistente resultater, hvis du prøver at bruge den.

2. Modsigelsen af ​​den oprindelige formel i tilfælde af vekselstrøm:

Faktisk vælger vi en specifik integrationsflade, så den passerer mellem kondensatorens plader (det vil sige i figuren - næsten vandret, for at passere mellem de vandrette plader uden at røre dem; vi vil - bare for tydelighedens skyld og bekvemmeligheden - antage, at det er næsten vandret og ud over kanterne kondensatorplader; du kan vælge det både strengt vandret) og strækker sig ud over dets kanter, det vil sige et større område end pladerne. Så vil kanten af ​​denne overflade , som er en kontur til beregning af integralet (cirkulation B ) på venstre side, være en eller anden kurve rundt om kondensatoren (og hvis vi vælger strengt vandret, så vil denne kontur også ligge i det vandrette plan) .

Overfladen krydses ingen steder af lederen, ingen strøm løber gennem den ( j i kondensatorgabet er nul overalt, der er ingen ladninger, der er i stand til at bære strøm). Det betyder, at højre side af ligningen er lig med nul, og hvis man antager, at ligningen i sig selv er sand, er venstre side også lig nul - det vil sige magnetfeltets cirkulation langs kanten :

Lad C betegne denne kant af overfladen (integrationskonturen på venstre side af ligningen): .

Det er dog ikke den eneste overflade, der har sådan en kant. På konturen C kan du "strække" en anden overflade, der ikke falder sammen med S , og endda uendeligt mange forskellige overflader (så kanten alle vil falde sammen).

Specifikt vælger vi ("strække" på C ) en anden overflade , så dens kant falder sammen med C , og den selv passerer ikke gennem kondensatorens spalte, men lidt højere og krydser ledningen, der leverer strøm til kondensatoren (f.eks. overflade kan opnås ved at bøje den lidt op).

Det er klart, at integralet på højre side, som er den elektriske strøm gennem overfladen , ikke er lig med nul:

Det viste sig at være en selvmodsigelse, fordi i venstre side pga

står den samme kontur integral over konturen C , og højre side giver forskellige resultater:

Følgelig Ampere formlen i sin oprindelige form i tilfælde af vekselstrømme [6] .

3. At finde et ændringsforslag, der eliminerer modsigelsen:

Det er allerede rent kvalitativt ganske indlysende, at i kondensatorens spalte (hvor overfladen passerer og hvor j \u003d 0), er der sandsynligvis det eneste, der kunne erstatte j , så integralet over giver det samme resultat som over , og dermed er modsigelsen fjernet. Dette er et elektrisk felt i forandring.

Desuden er det umiddelbart klart, at ændringshastigheden i den elektriske feltstyrke i kondensatoren er proportional med strømmen, der kommer til denne kondensator (og denne strøm er integralet over den anden overflade:

Det betyder, at der er en chance for, at vi ved at integrere over overfladen får et resultat, der falder sammen med I (måske ved at gange med en eller anden koefficient).

Nu er det tilbage at finde ud af, hvad denne koefficient skal være, og sørg for, at alle detaljerne i beregningerne stemmer overens.

For at gøre dette udtrykker vi nu feltet i kondensatoren kvantitativt: (i de måleenheder, vi har valgt her [7] ).

Hvis det er lovligt at negligere kanteffekterne (forudsat at arealet af kondensatorpladerne er meget stort, og afstanden mellem dem er lille) [8] , kan vi bruge formlen for feltstyrken skrevet ovenfor over hele området af kondensatoren (med undtagelse af selve kanterne, områder nær, som vi forsømmer), og retningen af ​​vektoren E er overalt (med samme undtagelse) vinkelret på pladerne (lodret i figuren). Ladningstætheden (i samme tilnærmelse) afhænger ikke af positionen (konstant på langt størstedelen af ​​pladen).

Kommer fra hele denne tråd

Det vil sige, at den er nøjagtigt lig med I , hvilket betyder, at koefficienten ikke er nødvendig (den er lig med en) [9] .

Så vi har for korrektionsudtrykket (som vi begrundede for integration over , men som tilsyneladende skulle forblive det samme for en vilkårlig integrationsflade)

og selve Ampere-formlen, efter at have tilføjet dette korrektionsudtryk, har formen:

eller

(I vores eksempel, når vi integrerer over - udtrykket "virker" - på denne overflade , og når vi over - udtrykket "virker" , bliver det til nul på denne overflade [10] ).

Således har vi fundet Maxwells korrektionsled til Ampère-formlen og har vist, at den eliminerer inkonsistensen af ​​formlen i vores simple eksempel. Faktisk eliminerer det inkonsistensen af ​​formlen ikke kun i dette særlige tilfælde, men altid. Beviset for den sidste påstand er indeholdt i næste afsnit, det er lidt mere formelt.

Standard generel begrundelse

Her vil vi vise, at en korrektion til Ampere-formlen er nødvendig , og at den kan have den form , som Maxwell har foreslået, og også, hvis det er muligt, vil vi spore, hvordan den nøjagtigt kan konstrueres ud fra tilstrækkeligt naturlige og konstruktive overvejelser.

1. Lad os starte med udsagnet om bevarelse af ladning. [elleve]

Bevarelsen af ​​ladning er udtrykt ved kontinuitetsligningen :

hvor  er strømtætheden,  er ladningstætheden,  er strømtæthedens divergens .

2. Lad os analysere konsistensen af ​​Ampere-formlen i det magnetostatiske tilfælde i følgende betydning:

På dens venstre side er der en cirkulation langs en bestemt kontur, som er kanten af ​​integrationsfladen på højre side. Det står også, at formlen altid er sand, det vil sige for alle overflader. Imidlertid kan to forskellige overflader (og i det hele taget vilkårligt mange forskellige overflader) have en sammenfaldende kant; med andre ord kan vi strække to forskellige overflader (og flere hvis det er nødvendigt) ud på den samme kontur.

Det er klart, at for to forskellige overflader, der strækker sig over den samme kontur, vil venstre side af ligningen være den samme. På højre side vil der være en strøm (flux j ) gennem to forskellige overflader, og hvis den ikke viser sig at være den samme, så er Ampères formel internt inkonsistent allerede i magnetostatik. Lad os vise, at dette ikke er tilfældet.

I princippet vil det være tilstrækkeligt at bemærke, at strømlinjerne er lukkede eller går i det uendelige. (Dette udsagn virker intuitivt indlysende, hvis du bemærker, at strømmene i magnetostatik per definition er konstante, og ladningen er bevaret - og derfor har strømtætheden ingen kilder og synker, hvilket betyder, at strømlinjerne ikke har nogen begyndelse eller ende, og derfor er de alle enten lukkede eller går til det uendelige). Så er der i en hvilken som helst lukket overflade (eller i et par forskellige overflader spændt ud af den samme kontur, som tilsammen danner én lukket overflade) lige så mange strømlinjer, der kommer ind som ud af den.

I magnetostatik er feltet j således solenoidalt .

Nu er det nyttigt at vise dette også ud fra kontinuitetsligningen.

I magnetostatik , da en ændring i ladningstætheden ville føre til en ændring i det elektriske felt, der genereres af det, det vil sige, at det ville overtræde tilstanden af ​​felternes konstantitet.

Ved at indsætte dette i kontinuitetsligningen får vi straks, at for magnetostatik har den formen:

Dette er betingelsen for solenoidaliteten af ​​feltet j (fordi vi integrerer divergensen j over ethvert volumen, opnår [12] flowet gennem dets overflade, og det vil være lig med nul, da divergensen er nul overalt. [13]

3. Nu bemærker vi, at i tilfælde af overgang til det generelle (elektrodynamiske) tilfælde, går solenoidaliteten af ​​feltet j øjeblikkeligt tabt.

Ja, nu, generelt set, og dermed

Således får vi det resultat, at det oprindelige analytiske udtryk for mønsteret afledt af Ampère kun indeholder betegnelsen for strømstyrken på højre side af formlen og kan accepteres, men med betingelsen om intern inkonsistens (af de nævnte årsager) ovenfor, nemlig hvis , så er der et volumen, integralet over hvilket fra en sådan divergens ikke er lig med nul, og derfor er der en ikke-nul strøm fra denne overflade [14] , hvilket betyder, at du kan finde to overflader spændt af den samme kontur, gennem hvilken strømme af forskellige værdier flyder, hvilket betyder, at hvis den oprindelige Ampères formel er korrekt. I dette tilfælde vil vi få to forskellige gensidigt eksklusive cirkulationsværdier langs det samme kredsløb, dvs. en modsigelse.Tilstrækkeligt betinget.

4. Nu er det tilbage at finde en korrektion, der ville eliminere denne modsigelse.

Baseret på det faktum, at vi ønsker at forlade den generelle struktur af Ampère-formlen, ville den mest naturlige måde at rette den på være at forsøge at genoprette repræsentationen af ​​feltet som en solenoide (på højre side), men da feltet j i det generelle tilfælde, repræsenteret som en solenoide, mister synligheden af ​​modellen, er det naturligt - man skulle forestille sig, hvilken mere komplet model det ville kræve for at genoprette solenoidaliteten (hvorefter formlen ville blive internt konsistent, sandsynligvis i den generelle sag).

Vi bemærker også, at denne korrektion bør forsvinde i tilfælde af tidskonstante felter og konstante strømme.

Da man, når man beviser hypotesen om "solenoidalitet" af feltet j i magnetostatik, med ikke-solenoidale modeller, i elektrostatik er nødt til at acceptere kontinuitetsligningen. Derefter kan ideen udledes af naturlig logik at forsøge at bruge den til at indføre ændringsforslag. Faktisk, i det magnetostatiske tilfælde, får begge udtryk samtidig en nulværdi - og , og . Og for at kompensere for det ikke-nul flow beskrevet af den første del i det generelle tilfælde, ville det være naturligt at bruge den anden, da deres sum altid vil være lig med nul.

Lad os se, hvordan du bruger .

Det er kendt fra elektrostatikken [15] at [16]

Ved at postulere , at denne ligning også er sand i elektrodynamik, sammenligner vi den med kontinuitetsligningen

Det er indlysende, at ved at differentiere den første ligning med hensyn til tid, får vi straks den periode, der er af interesse for os på dens højre side :

Ved at indsætte det i kontinuitetsligningen har vi straks:

og

Det vil sige, at feltet  er solenoidalt.

Og det betyder, at hvis vi tilføjer følgende tilføjelse til j i Ampère-formlen , så mister denne formel, som den ser ud for os, sin interne inkonsistens (i hvert fald når vi betragter de angiveligt eksisterende modsætninger i den oprindelige Ampère-formel) og får egenskaber og en form meget tæt på egenskaberne og formen af ​​den oprindelige Ampere-formel, for tilfældet med magnetostatiske kræfter. Og når der skiftes til magnetostatik, forsvinder korrektionen, det vil sige, at korrespondanceprincippet er opfyldt , og den generaliserede Ampère-Maxwell-lov går i dette særlige tilfælde ind i den tidligere Ampere-sætning om cirkulationen af ​​et magnetfelt.

Så vi mener, at vi har været i stand til at vise følgende, at Ampère-Maxwell-loven med korrektionen introduceret på denne måde (og postulerer rigtigheden af ​​Gauss-loven i det generelle tilfælde), kan tjene som en korrekt generalisering af Ampère formel for det generelle elektrodynamiske tilfælde.

Yderligere heuristiske overvejelser

På trods af, at der fra et formelt synspunkt er tilstrækkeligt grundlag for den korrektionsbetingelse, som Maxwell introducerede, for beskrivelserne i artiklen ovenfor, set fra et historisk synspunkt. Det er sandsynligt, at følgende tilføjelser, der stammer fra heuristisk erfaring, kunne være vigtige og kunne give en yderligere tankegang i den rigtige retning, når man leder efter en bredere fortolkning for at generalisere Ampères sætninger.

Derudover kan nogle af disse overvejelser have selvstændig betydning, i betydningen at uddybe forståelsen af ​​strukturen og det fysiske indhold af de processer, der beskrives af Maxwells ligninger.

Forskydningsstrøm i dielektrikum

En af de vigtigste, sandsynligvis sådanne heuristiske søgninger fremsat af nogle af vores overvejelser (fra et historisk synspunkt, utvivlsomt kontroversielt) er observationen af ​​forskydningsstrømmen i et dielektrikum .

Faktum er, at i det tilfælde, hvor vi ikke taler om et vakuum, men om et dielektrisk medium, så er der i dette medium en forskydningsstrøm (som ud fra et grundlæggende synspunkt er en almindelig elektrisk strøm. kan betragtes som ganske godt "skjult" for de mest direkte observationstyper), hvilket delvist kompenserer for misforholdet i Ampère-formlen ved delvist at erstatte ledningsstrømmen i de områder, hvor der ikke er nogen leder. Strukturen af ​​forskydningsstrømmen i dielektrikumet (i betydningen af ​​dets analytiske udtryk) indeholder parameteren for ændringshastigheden af ​​det elektriske felt med tiden og falder praktisk talt sammen med den, der giver den indførte korrektion. I betragtning af, at forspændingsstrømmen i dielektrikumet på denne måde giver delvis kompensation for fejlen (mismatch) i Ampère-formlen, er det ikke langt fra tanken om, at en lignende tilføjelse skulle kompensere fuldstændigt for misforholdet.

Den del af korrektionsdelen af ​​formlen, der mangler for fuldt ud at kompensere for misforholdet, kaldes (i analogi med den dielektriske forskydningsstrøm) vakuumforskydningsstrømmen.

• Bemærk: vakuumforskydningsstrømmen er ikke en "rigtig" elektrisk strøm, på trods af at den formelt minder meget om den i den måde, den kommer ind i Ampère-Maxwell-ligningen (det ser ud til, at den har et udtryk, der er praktisk talt det samme som den dielektriske forskydningsstrøm og indgår heri er ligningen fuldstændig lig med forskydningsstrømmen af ​​dielektrikumet, som igen er en reel elektrisk strøm).
  • Hvis vakuumforskydningsstrømmen var en sand elektrisk strøm, ville ladningerne skabt af den fuldstændig eliminere det elektriske felt, der genererer den, da denne strøm er forårsaget af den og induceres (hvilket både er ret absurd at acceptere, og bestemt ikke svarer til til den observerede klasse af fænomener).
  • Set fra vor tids synspunkt er sammenfaldet i form af udtrykket med forskydningsstrømmen for dielektrikum ret tilfældigt, og sammenfaldet af udtrykket forskydningsstrøm i forhold til dielektrikum og vakuum er rent betinget. Ikke desto mindre viste analogien sig, selv om den blev betragtet som rent formel, som vi ser, at være meget produktiv.

Symmetri af elektrodynamikkens ligninger

Ændringen, ved at indføre en tilføjelse til Maxwell-formlen, gør efter vores mening systemet af ligninger, der beskriver elektromagnetisme, mere symmetrisk (praktisk talt, perfekt symmetrisk) og derfor mere visuelt. Det kan siges "smukt", og skønhedskriteriet betragtes ofte som et af de etiske hovedpunkter, når man vurderer fysiske teorier.

Ud fra ønsket om at gøre ligningssystemet mere symmetrisk kan man desuden praktisk talt gætte formen på vores "korrektionsudtryk", i det mindste op til et tegn og måske en konstant koefficient.

Maxwells ligningssystem [17] :

ser utvivlsomt mere symmetrisk ud [18] end det ville være, hvis korrektionsleddet blev fjernet fra den fjerde ligning . Desuden kan formen for dette udtryk som helhed gættes ud fra disse betragtninger.

Noter

1. ↑ Det er ikke helt klart, hvilken rolle ræsonnementet beskrevet i denne artikel spillede i Maxwells tænkning ved at skrive den korrekte ligning, men logisk set retfærdiggør det fuldt ud Maxwells korrektion, uanset hvor nøjagtig rekonstruktionen af ​​hans tilgang er.
2. ↑ For de fleste af afsnittets ræsonnementer kan du overveje blot et brud i kredsløbet, men dette er også en variant af kondensatoren (ladninger akkumuleres i enderne af ledningen); i slutningen af ​​afsnittet, for at opnå korrektionens form på den enkleste måde, er det bedst at antage, at vi har at gøre med en ideel flad kondensator.
3. ↑ Tråden har dog også en vis induktans , så dette tilfælde er ikke anderledes end spolehuset.
4. ↑ Hvis et sådant tilfælde stadig formelt er inkluderet i klassen af ​​tilfælde af magnetostatik på grundlag af, at strømmen i nogen begrænset tid kan forblive konstant, så viser det sig, at allerede i dette tilfælde er Ampère-sætningen internt inkonsekvent og kræver korrektion (se senere i artiklen). Dette er en af ​​grundene til, at det er logisk at udelukke en sådan variant af konstant strøm fra magnetostatikken.
5. ↑ Her har vi kun overvejet det tilfælde, hvor en kondensator er indsat. Og det faktum, at formlen er konsistent i tilfælde af jævnstrøm for kredsløb, der ikke indeholder brud (kondensatorer), tager vi som et faktum kendt fra magnetostatik. Især hvis vi udfører alle de argumenter, der er givet senere i dette afsnit, og som fører til en modsigelse i tilfælde af vekselstrømme i en ledning med brud (kondensator), i tilfælde af en ledning uden brud, hvor strømmen er den samme i sine forskellige sektioner, vil vi opnå en ikke-modsigelse , og konsistente resultater.
6. ↑ også i det tilfælde, hvor strømmen forbliver konstant i en vis periode - da alt i vores ræsonnement forbliver det samme for dette tilfælde også
7. ↑ Om systemet af enheder valgt i denne artikel (den mest forenklede formel), se artiklen ovenfor. I andre enhedssystemer vil formlen for E afvige med en konstant koefficient, for eksempel i SI , hvilket naturligvis også vil påvirke korrektionsleddets koefficient i det endelige svar - afhængigt af det valgte enhedssystem.
8. ↑ Dette er kun nødvendigt for at forenkle beregningerne så meget som muligt, hvilket vil gøre deres betydning mere indlysende.
9. ↑ Igen, i vores system af enheder (hvilket ikke er overraskende, da det var specielt valgt, så alle unødvendige koefficienter forsvinder)
10. ↑ Fordi feltet i den tilnærmelse, vi har vedtaget, er helt koncentreret i kondensatorens spalte, og udenfor er det ubetydeligt lille.
11. ↑ At starte med at bevare ladningen er ikke påkrævet for at vise den interne inkonsistens af Ampère-formlen uden for magnetostatik. Ladningsbevarelse viser sig dog at være vigtig for den konstruktive konstruktion af Maxwell-korrektionen. I denne forstand kan det bemærkes, at den her præsenterede konstruktion tjener som en illustration af udsagnet: Hvis ladningen ikke var bevaret, kunne elektrodynamikken som helhed ikke være den samme, som den er.
12. ↑ Ifølge Ostrogradsky-Gauss-sætningen
13. ↑ Dette ræsonnement kan vendes, det vil sige, det kan påvises, at hvis ladningen ikke var bevaret i magnetostatik, det vil sige, hvis den kunne afvige fra nul uden at overtræde betingelserne for den magnetostatiske situation, så ville Ampères sætning ikke være sand ( formlen ville være internt inkonsistent) i magnetostatik (hvilket selvfølgelig betyder, at magnetostatikken i dette imaginære tilfælde ville være helt anderledes, og det er endda svært at forestille sig, hvordan det så kunne formuleres i form af en feltteori; selvom selvfølgelig, hvis vi for magnetostatik begrænser os blot til Biot-Savart-loven og Ampère-kraften, ville der ikke kræves nogen fantasianstrengelse for at forestille os magnetostatik med åbne strømme).
14. ↑ Dette udsagn er næsten indlysende, da det kan reduceres til, at der i eller uden for rummet, betinget lukket af overfladen, kan strømme en (veksel)strøm ud eller strømme ind i det. Det er dog nyttigt for os at relatere dette udsagn til kontinuitetsligningen direkte i lyset af den følgende præsentation.
15. ↑ Se Gauss' sætning .
16. ↑ I systemet af enheder, der bruges i denne artikel
17. ↑ Her skrives det i enhedssystemet c = 1, hvilket understreger symmetrien i dette system; dog kunne brugen af ​​andre enheder ikke helt skjule det.
18. ↑ Dette er endnu mere indlysende for et ligningssystem uden ladninger: